अध्याय 9: त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग

VVI प्रश्न — बोर्ड ने जिन्हें सबसे ज़्यादा बार पूछा (12)

1. Q1दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2026

   किसी भवन के शिखर का उन्नयन कोण मीनार के पाद से 30° है तथा मीनार के शिखर का उन्नयन कोण भवन के पाद से 60° है। यदि मीनार की ऊँचाई 60 मी हो तो भवन की ऊँचाई ज्ञात करें।

   

   मेधा मैम

   AskMedha की AI शिक्षिका

   मेधा मैम से सुनें · 145 सेकंड

   आदर्श उत्तर · ऊँचाई और दूरी, उन्नयन कोण

   1. 1.मान लीजिए मीनार PQ की ऊँचाई 60 मीटर है तथा भवन AB की ऊँचाई h मीटर है। मीनार के पाद Q से भवन के शिखर A का उन्नयन कोण 30° है और भवन के पाद B से मीनार के शिखर P का उन्नयन कोण 60° है। मीनार का पाद Q तथा भवन का पाद B एक ही समतल भूमि पर हैं और इनके बीच की दूरी x मीटर मान ली जाती है। दोनों समकोण त्रिभुजों PQB तथा ABQ में त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करके h तथा x के बीच संबंध ज्ञात किया जाता है।1 अंक
   2. 2.समकोण त्रिभुज PQB में, भवन के पाद B से मीनार के शिखर P का उन्नयन कोण 60° है, अतः tan 60° = PQ/BQ = 60/x होता है। sqrt(3) = 60/x से x = 60/sqrt(3) प्राप्त होता है। इसे सरल करने पर x = 60/sqrt(3) × sqrt(3)/sqrt(3) = 60 sqrt(3)/3 = 20 sqrt(3) मीटर प्राप्त होता है। अतः दोनों पादों के बीच की दूरी (आधार) x = 20 sqrt(3) मीटर है।2 अंक
   3. 3.समकोण त्रिभुज ABQ में, मीनार के पाद Q से भवन के शिखर A का उन्नयन कोण 30° है, अतः tan 30° = AB/BQ = h/x होता है। यह समीकरण मीनार तथा भवन के पादों के बीच की दूरी x और भवन की ऊँचाई h के बीच संबंध स्थापित करता है, जिससे 1/sqrt(3) = h/x प्राप्त होता है।1 अंक
   4. 4.x = 20 sqrt(3) मीटर का मान tan 30° = h/x में प्रतिस्थापित करने पर 1/sqrt(3) = h/(20 sqrt(3)) प्राप्त होता है। इससे h = 20 sqrt(3)/sqrt(3) = 20 प्राप्त होता है। अतः भवन की ऊँचाई h = 20 मीटर है।1 अंक

   चित्र: दो समकोण त्रिभुज बनाएँ: मीनार PQ (ऊँचाई 60 मी, पाद Q) और भवन AB (ऊँचाई h, पाद B) एक ही भूमि रेखा पर; भूमि पर Q और B के बीच की दूरी x अंकित करें; B से P तक रेखा खींचकर कोण 60° (मीनार के शिखर का उन्नयन कोण, भवन के पाद से) और Q से A तक रेखा खींचकर कोण 30° (भवन के शिखर का उन्नयन कोण, मीनार के पाद से) लेबल करें।

   • पहले पैराग्राफ में मीनार और भवन की ऊँचाई मान लेना और दोनों उन्नयन कोण 30°, 60° स्पष्ट लिखना न भूलें।
   • tan 60° = 60/x का समीकरण लिखकर x = 20 sqrt(3) मीटर तक गणना दिखाएँ।
   • अंत में h = 20 मीटर के साथ इकाई 'मीटर' अवश्य लिखें।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

2. Q2दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2026

   भूमि के एक बिन्दु P से एक 10 मी ऊँचे भवन के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। भवन के शिखर पर एक ध्वज को लहराया गया है और P से ध्वजदण्ड के शिखर का उन्नयन कोण 45° है। ध्वजदण्ड की लम्बाई और बिन्दु P से भवन की दूरी ज्ञात करें। ( जहाँ sqrt(3)=1.732 )

   

   मेधा मैम

   AskMedha की AI शिक्षिका

   मेधा मैम से सुनें · 140 सेकंड

   आदर्श उत्तर · ऊँचाई और दूरी, दो उन्नयन कोण

   1. 1.माना AB भवन की ऊँचाई है जो 10 मीटर है और P बिंदु से भवन की दूरी AP = x मीटर है। आकृति में दो समकोण त्रिभुज PAB और PAD बनते हैं, जहाँ AB भवन की ऊँचाई तथा BD ध्वजदंड की लंबाई प्रकट करते हैं। पहले समकोण त्रिभुज PAB में, भवन के शिखर B का उन्नयन कोण 30° है, अतः tan 30° = AB/AP होगा।1.5 अंक
   2. 2.समकोण त्रिभुज PAB में tan 30° = AB/AP रखने पर 1/√3 = 10/AP प्राप्त होता है, जिससे AP = 10√3 मीटर आता है। अतः बिंदु P से भवन की दूरी AP = 10√3 मीटर = 17.32 मीटर है।1 अंक
   3. 3.माना DB = h मीटर ध्वजदंड की लंबाई है, तब AD = (10 + h) मीटर होगा। अब बड़े समकोण त्रिभुज PAD में, ध्वजदंड के शिखर D का उन्नयन कोण 45° है, अतः tan 45° = AD/AP होगा।1 अंक
   4. 4.समकोण त्रिभुज PAD में tan 45° = AD/AP रखने पर समीकरण 1 = (10 + h)/10√3 प्राप्त होता है। इसे हल करने पर (10 + h) = 10√3 प्राप्त होता है।1 अंक
   5. 5.समीकरण (10 + h) = 10√3 से h = 10√3 − 10 = 10(√3 − 1) मीटर प्राप्त होता है। √3 = 1.732 रखने पर h = 10(1.732 − 1) = 10 × 0.732 = 7.32 मीटर प्राप्त होता है। अतः ध्वजदंड की लंबाई 7.32 मीटर है।0.5 अंक

   चित्र: एक ऊर्ध्वाधर रेखा PAB D खींचें जिसमें नीचे A भवन का पाद, A से B तक 10 मीटर ऊँचाई का भवन, B से D तक ध्वजदंड h मीटर; भूमि पर बिंदु P से A तक क्षैतिज रेखा खींचें; P से B तक रेखा खींचकर कोण 30° तथा P से D तक रेखा खींचकर कोण 45° अंकित करें; AB=10, BD=h, AP=10√3 लिखें।

   • पहले पैराग्राफ में tan 30° = AB/AP लिखकर समकोण त्रिभुज PAB बताना न भूलें।
   • AP = 10√3 मीटर के साथ 17.32 मीटर भी लिखें।
   • अंत में h = 10(√3 − 1) मीटर और 7.32 मीटर दोनों स्पष्ट लिखें।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

3. Q3दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2022

   एक सीढ़ी ऊर्ध्वाधर दीवार पर इस प्रकार टिकी हुई है कि सीढ़ी का ऊपरी हिस्सा दीवार के शीर्ष को ठीक स्पर्श करता है। सीढ़ी भूमि के साथ 60 डिग्री का कोण बनाती है। सीढ़ी का निचला सिरा दीवार से 1.5 मी दूर है तो सीढ़ी की लंबाई एवं दीवार की ऊँचाई ज्ञात करें।

   

   मेधा मैम

   AskMedha की AI शिक्षिका

   मेधा मैम से सुनें · 130 सेकंड

   आदर्श उत्तर · ऊँचाई और दूरी, सीढ़ी पर आधारित प्रश्न

   1. 1.माना सीढ़ी AC है जो ऊर्ध्वाधर दीवार AB पर इस प्रकार टिकी है कि उसका ऊपरी सिरा A दीवार के शीर्ष को स्पर्श करता है और निचला सिरा C भूमि पर है। सीढ़ी भूमि के साथ 60° का कोण बनाती है, अर्थात् ∠ACB = 60°। यहाँ ABC एक समकोण त्रिभुज है जो B पर समकोण है, जिसमें BC आधार है, AB लंब है और AC कर्ण है। सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी BC = 1.5 m दी गई है। सीढ़ी की लंबाई AC ज्ञात करने के लिए हम समकोण त्रिभुज ABC में आधार और कर्ण से संबंधित त्रिकोणमितीय अनुपात cos 60° = आधार/कर्ण = BC/AC का प्रयोग करते हैं।1.5 अंक
   2. 2.cos 60° = BC/AC में मान रखने पर 1/2 = 1.5/AC प्राप्त होता है, जिसे हल करने पर AC = 1.5 × 2 = 3 m प्राप्त होता है। अतः सीढ़ी की लंबाई 3 मीटर है।1 अंक
   3. 3.दीवार की ऊँचाई AB ज्ञात करने के लिए हम उसी समकोण त्रिभुज ABC में लंब और आधार से संबंधित त्रिकोणमितीय अनुपात tan 60° = लंब/आधार = AB/BC का प्रयोग करते हैं, क्योंकि इस अनुपात में AB और BC दोनों सम्मिलित हैं।1.5 अंक
   4. 4.tan 60° = AB/BC में मान रखने पर √3 = AB/1.5 प्राप्त होता है, जिसे हल करने पर AB = 1.5√3 m प्राप्त होता है। अतः दीवार की ऊँचाई 1.5√3 मीटर अर्थात् लगभग 2.598 मीटर है।1 अंक

   चित्र: एक समकोण त्रिभुज ABC बनाएँ जिसमें B पर समकोण हो, AB ऊर्ध्वाधर दीवार को, BC भूमि पर आधार (1.5 m) को तथा AC सीढ़ी (कर्ण) को दर्शाए; C पर 60° का कोण अंकित करें।

   • समकोण त्रिभुज की आकृति बनाकर AB, BC, AC और 60° का कोण अवश्य अंकित करें।
   • cos 60° = आधार/कर्ण लिखकर सीढ़ी की लंबाई 3 मीटर प्राप्त करने का पूरा हल दिखाएँ।
   • tan 60° = लंब/आधार लिखकर दीवार की ऊँचाई 1.5√3 मीटर (लगभग 2.598 मीटर) प्राप्त करने का पूरा हल दिखाएँ।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

4. Q4दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2022

   एक ऊर्ध्वाधर झंडा स्तंभ तथा एक 50 मीटर ऊँची मीनार एक ही क्षैतिज तल पर स्थित है। मीनार के शीर्ष से स्तंभ के ऊपरी तथा निचले सिरे के अवनमन कोण क्रमशः 30 डिग्री तथा 45 डिग्री हैं, तो झंडा स्तंभ की ऊँचाई ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. माना PC मीनार है जिसकी ऊँचाई 50 m है और AB ध्वज स्तंभ है। मीनार का पाद C तथा ध्वज स्तंभ का पाद B एक ही क्षैतिज तल पर स्थित हैं। मीनार के शिखर P से ध्वज स्तंभ के ऊपरी सिरे A का अवनमन कोण 30° है और निचले सिरे B का अवनमन…

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5. Q5दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2022

   दो जहाज विपरीत दिशा से एक लाईटहाउस की तरफ बढ़ रही हैं। दोनों जहाजों का अवनमन कोण लाईटहाउस के शीर्ष से 60° एवं 45° हैं। यदि दोनों जहाजों के बीच की दूरी 100 मीटर है तो लाईटहाउस की ऊँचाई ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. माना लाईटहाउस AB है जिसकी ऊँचाई h मीटर है। दोनों जहाज लाईटहाउस के विपरीत दिशाओं में स्थित हैं, जिन्हें बिंदु C और D से दर्शाते हैं। माना BC = x मीटर पहले जहाज C की लाईटहाउस के पाद B से दूरी है, तथा दूसरे जहाज D की दूरी…

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6. Q6दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2023

   समान ऊँचाई के दो खंभे 80 मी चौड़ी सड़क के दोनों ओर एक दूसरे के सम्मुख हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के किसी बिन्दु P पर एक खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है तथा दूसरे खंभे के शीर्ष से बिन्दु P का अवनमन कोण 30° है। खंभों की ऊँचाइयाँ तथा बिन्दु P की खंभों से दूरियाँ ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. माना AB और CD समान ऊँचाई h मीटर के दो खंभे हैं जो 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर एक दूसरे के सम्मुख खड़े हैं। सड़क पर स्थित बिंदु P से खंभे AB के शिखर A का उन्नयन कोण 60° है तथा खंभे CD के शिखर D से बिंदु P का अवनमन कोण…

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7. Q7दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2023

   समान ऊँचाई के दो खंभे 80 मी चौड़ी सड़क के दोनों ओर एक दूसरे के सामने हैं। इन दोनों खंभों के बीच सड़क के किसी बिन्दु P पर एक खंभे के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है तथा दूसरे खंभे के शीर्ष से बिन्दु P का अवनमन कोण 30° है। खंभों की ऊँचाइयों तथा बिन्दु P की खंभों से दूरियाँ ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. माना सड़क की कुल चौड़ाई 80 मीटर है और दोनों खंभों की ऊँचाई समान है जिसे h मीटर मानते हैं। माना AB और CD दो समान ऊँचाई वाले खंभे हैं जो सड़क BD के दोनों ओर स्थित हैं, जिनकी ऊँचाई AB = CD = h मीटर है। सड़क पर स्थित बिंदु…

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8. Q8दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2021

   भूमि के एक बिन्दु O से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30 degree एवं मीनार के शिखर पर के ध्वज दंड के शिखर का उन्नयन कोण 60 degree है। यदि ध्वज दंड की लंबाई 5 m है, तो मीनार की ऊँचाई बताएँ।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. माना मीनार की ऊँचाई AB = h मीटर है और भूमि के बिन्दु O से मीनार के आधार A की दूरी OA = x मीटर है। मीनार के शिखर B पर लगे ध्वज दंड BC की लंबाई 5 मीटर है, अर्थात् BC = 5 m। इस प्रकार बिन्दु O से ध्वज दंड के शिखर C की…

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9. Q9दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2021

   समुद्र तल से 95 m ऊँची प्रकाश गृह के शिखर से देखने पर दो समुद्री जहाजों के अवनमन कोण 30° और 45° हैं। यदि प्रकाश गृह के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक पीछे हो तो दो जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. माना AB प्रकाश गृह है जिसकी ऊँचाई AB = 95 मीटर है। C और D क्रमशः पहले जहाज तथा दूसरे जहाज की स्थितियाँ हैं, जिनसे प्रकाश गृह के शिखर A का अवनमन कोण क्रमशः 45° और 30° हैं। प्रकाश गृह के एक ही ओर एक जहाज दूसरे जहाज के ठीक…

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10. Q10लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    एक 7 मी लंबी सीढ़ी दीवार के साथ 30° का कोण बनाती है। दीवार पर उस बिन्दु की ऊँचाई ज्ञात करें जहाँ सीढ़ी दीवार को स्पर्श करती है।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. सीढ़ी, दीवार और भूमि से समकोण त्रिभुज बनता है; सीढ़ी (7 मी) कर्ण है और सीढ़ी दीवार से 30° बनाती है, अतः दीवार पर ऊँचाई h इस कोण की आसन्न भुजा है: cos 30° = h/7।

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11. Q11लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    यदि किसी खम्भे की छाया की लम्बाई उसकी ऊँचाई के sqrt(3) गुनी के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. माना खम्भे AB की ऊँचाई h है। खम्भे की छाया BC की लंबाई उसकी ऊँचाई की sqrt(3) गुनी दी गई है, अतः BC = h sqrt(3)।

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12. Q12लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    भूमि के एक बिन्दु से जो मीनार के पाद-बिन्दु से 30 मी की दूरी पर है, मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. माना मीनार AB है और भूमि पर बिंदु C है, जो मीनार के पाद-बिंदु B से 30 मीटर की दूरी पर है। यहाँ ∠ACB मीनार के शिखर का उन्नयन कोण है, जिसका मान 30° है। त्रिभुज ABC, B पर समकोण वाला समकोण त्रिभुज है। इस समकोण त्रिभुज में…

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ऑब्जेक्टिव प्रश्न — उत्तर-कुंजी सहित (10)

1. 1. बिहार बोर्ड 2026

   यदि किसी वृक्ष की छाया की लम्बाई उसकी ऊँचाई के बराबर हो तो सूर्य का उन्नयन कोण है

   • (A) 30°
   • (B) 45° ✓
   • (C) 60°
   • (D) 75°

   उत्तर: (B)

2. 2. बिहार बोर्ड 2026

   15 मीटर लम्बी एक सीढ़ी उर्ध्वाधर दीवार के सहारे टिकी है जो दीवार के साथ 60° का कोण बनाती है तो दीवार की ऊँचाई है

   • (A) 15/2 मी ✓
   • (B) 15 मी
   • (C) 30 मी
   • (D) 15/4 मी

   उत्तर: (A)

3. 3. बिहार बोर्ड 2026

   एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण उसके पाद से 25 मी की दूरी पर 60° है तो मीनार की ऊँचाई है

   • (A) 5 sqrt(3) मी
   • (B) 15 sqrt(3) मी
   • (C) 25 sqrt(3) मी ✓
   • (D) 25 मी

   उत्तर: (C)

4. 4. बिहार बोर्ड 2026

   एक पतंग पृथ्वी से 20 मी की ऊँचाई पर है और इसकी डोर पृथ्वी से 45° का कोण बनाती है तो डोर की लम्बाई है

   • (A) 20 sqrt(2) मी ✓
   • (B) 10 sqrt(2) मी
   • (C) 5 sqrt(2) मी
   • (D) 10 मी

   उत्तर: (A)

5. 5. बिहार बोर्ड 2025

   एक स्तंभ की छाया की लंबाई स्तंभ की ऊँचाई से √3 गुनी है। सूर्य का उन्नयन कोण है

   • (A) 30° ✓
   • (B) 45°
   • (C) 60°
   • (D) 90°

   उत्तर: (A)

6. 6. बिहार बोर्ड 2023

   यदि सूर्य का उन्नयन कोण 60° है, तो 30 मी की लंबी छाया को बनानेवाली उदग्र मीनार की ऊँचाई है

   • (A) 30/sqrt(3) मी
   • (B) 15*sqrt(3) मी
   • (C) 30*sqrt(3) मी ✓
   • (D) 15 मी

   उत्तर: (C)

7. 7. बिहार बोर्ड 2022

   यदि एक स्तंभ की छाया की लंबाई 2sqrt(3) m है एवं सूर्य का उन्नयन कोण 60° है तो स्तंभ की लंबाई होगी

   • (A) 4sqrt(3) m
   • (B) 6 m
   • (C) 12 m
   • (D) 3 m ✓

   उत्तर: (D)

8. 8. बिहार बोर्ड 2022

   एक छड़ की लम्बाई और उसकी छाया का अनुपात 1:sqrt(3) है, तो सूर्य का उन्नयन कोण है

   • (A) 30° ✓
   • (B) 45°
   • (C) 60°
   • (D) 90°

   उत्तर: (A)

9. 9. बिहार बोर्ड 2022

   एक ऊर्ध्वाधर दीवार की लंबाई एवं उसकी छाया की लंबाई का अनुपात 1:sqrt(3) है तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा

   • (A) 30° ✓
   • (B) 45°
   • (C) 60°
   • (D) 90°

   उत्तर: (A)

10. 10. बिहार बोर्ड 2021

    यदि किसी ऊर्ध्वाधर स्तंभ की ऊँचाई जमीन पर उस स्तंभ की छाया की लंबाई की sqrt(3) गुनी है तो सूर्य का उन्नयन कोण होगा

    • (A) 30°
    • (B) 45°
    • (C) 60° ✓
    • (D) 75°

    उत्तर: (C)

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बिहार बोर्ड 10वीं गणित में "त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग" से कितने अंक आते हैं?

2021 से 2026 के बिहार बोर्ड के पेपरों में इस अध्याय से औसतन लगभग 3 अंक और लगभग 2 प्रश्न हर साल पूछे गए; गणित में अंकों के हिसाब से यह 14वाँ अध्याय है।

"त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग" के VVI प्रश्न कौन से हैं?

ऊपर दिए गए 12 प्रश्न बोर्ड के असली पेपरों से हैं, जिस-जिस साल पूछे गए उस साल के साथ; जो सबसे ज़्यादा बार पूछे गए वे पहले हैं और उनके आदर्श उत्तर पूरे दिए गए हैं। इस अध्याय के कुल 12 लिखित प्रश्न और उनके उत्तर AskMedha ऐप में हैं।

क्या ये उत्तर बोर्ड की marking scheme के अनुसार हैं?

BSEB अपनी marking scheme प्रकाशित नहीं करता। हर उत्तर पिछले पेपरों से निकाली गई अंक-संरचना पर बिंदुवार लिखा गया है और एक दूसरे, स्वतंत्र मॉडल से जाँचा गया है; इसे बोर्ड की आधिकारिक scheme नहीं कहा जाता।