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बिहार बोर्ड 10वीं · गणित · मैट्रिक परीक्षा 2027

अध्याय 7: निर्देशांक ज्यामिति

बिहार बोर्ड (BSEB) के 2017–2026 के असली पेपरों से इस अध्याय के 20 सबसे ज़्यादा पूछे गए प्रश्न (VVI) — 3 के आदर्श उत्तर पूरे, 17 के उत्तर की पहली पंक्ति — और ऑब्जेक्टिव प्रश्न बोर्ड की उत्तर-कुंजी के साथ। इस अध्याय के कुल 40 प्रश्न, उत्तर सहित, ऐप में।

अंक हर साल (लगभग)
10
प्रश्न हर साल (लगभग)
14
गणित में स्थान
#2

2021–2026 के 6 साल के पेपरों पर आधारित · पूरा अंक वितरण

अध्याय 7 के नोट्स (PDF) →

VVI प्रश्न — बोर्ड ने जिन्हें सबसे ज़्यादा बार पूछा (20)

  1. Q1लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022, 2026

    सिद्ध करें कि बिन्दुएँ (5, -2), (6, 4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।

    मेधा मैम

    मेधा मैम

    AskMedha की AI शिक्षिका

    आदर्श उत्तर · दूरी सूत्र, समद्विबाहु त्रिभुज

    1. 1.माना दिए गए बिंदु A(5, -2), B(6, 4) और C(7, -2) हैं। दूरी सूत्र का प्रयोग करके तीनों भुजाओं AB, BC और AC की लंबाई ज्ञात करते हैं। AB = √((6-5)² + (4-(-2))²) = √(1² + 6²) = √(1 + 36) = √37 मात्रक। BC = √((7-6)² + (-2-4)²) = √(1² + (-6)²) = √(1 + 36) = √37 मात्रक। AC = √((7-5)² + (-2-(-2))²) = √(2² + 0²) = √4 = 2 मात्रक।1 अंक
    2. 2.यहाँ AB = BC = √37 मात्रक है, अर्थात् इन तीनों बिंदुओं द्वारा बनी भुजाओं में से किन्हीं दो भुजाओं AB और BC की लंबाई समान पाई गई। चूँकि त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हैं, अतः बिंदु (5, -2), (6, 4) और (7, -2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।1 अंक
    • AB, BC और AC तीनों की गणना दूरी सूत्र से अलग-अलग पंक्ति में दिखाएँ।
    • AB = BC लिखकर स्पष्ट करें कि दो भुजाएँ बराबर हैं, तभी समद्विबाहु त्रिभुज सिद्ध होगा।
    • अंत में 'समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं' यह निष्कर्ष अवश्य लिखें।

    अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

  2. Q2लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2020, 2022

    x और y में एक सम्बन्ध स्थापित करें यदि बिन्दु P(x, y), बिन्दुओं A(1, 4) एवं B(-1, 2) से समदूरस्थ हो।

    मेधा मैम

    मेधा मैम

    AskMedha की AI शिक्षिका

    आदर्श उत्तर · निर्देशांक ज्यामिति, समदूरस्थ बिंदु

    1. 1.माना बिंदु P(x, y) बिंदुओं A(1, 4) और B(-1, 2) से समदूरस्थ है। अतः हमें PA = PB दिया है। अतः PA² = PB² है। दूरी सूत्र के अनुसार दो बिंदुओं P(x1, y1) और Q(x2, y2) के बीच की दूरी sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) होती है। अतः PA² = (x - 1)² + (y - 4)² तथा PB² = (x + 1)² + (y - 2)² होगा। अतः (x - 1)² + (y - 4)² = (x + 1)² + (y - 2)² ही वह समीकरण है।1 अंक
    2. 2.(x - 1)² + (y - 4)² = (x + 1)² + (y - 2)² x² - 2x + 1 + y² - 8y + 16 = x² + 2x + 1 + y² - 4y + 4 - 2x - 8y + 17 = 2x - 4y + 5 - 2x - 2x - 8y + 4y + 17 - 5 = 0 - 4x - 4y + 12 = 0 x + y = 3 यही x और y में वांछित संबंध है।1 अंक
    • पहले पैराग्राफ में 'समदूरस्थ', 'PA = PB' और 'PA² = PB²' अवश्य लिखें।
    • दूरी सूत्र sqrt((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) का उल्लेख करके ही समीकरण बनाएँ।
    • हल करते समय हर चरण अलग पंक्ति में लिखें और अंत में x + y = 3 स्पष्ट रूप से लिखें।

    अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

  3. Q3लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2017, 2022

    उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्ष (1, -1), (-4, 6) और (-3, -5) हैं।

    मेधा मैम

    मेधा मैम

    AskMedha की AI शिक्षिका

    आदर्श उत्तर · त्रिभुज का क्षेत्रफल, निर्देशांक ज्यामिति

    1. 1.त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसके शीर्ष (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) हों, वह है: त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)]। यहाँ दिए गए त्रिभुज के शीर्ष A(1, -1), B(-4, 6) और C(-3, -5) हैं, अतः इस सूत्र का प्रयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात किया जाएगा।1 अंक
    2. 2.शीर्षों A(1, -1), B(-4, 6) और C(-3, -5) के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 1/2 [1(6 - (-5)) + (-4)((-5) - (-1)) + (-3)((-1) - 6)] = 1/2 [1(11) + (-4)(-4) + (-3)(-7)] = 1/2 [11 + 16 + 21] = 1/2 (48) = 24 अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल 24 वर्ग मात्रक है।1 अंक

    अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

  4. Q4लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2017, 2022

    यदि बिन्दुएँ A(2, 3), B(4, k) एवं C(6, -3) संरेख हैं तो k का मान ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. यदि तीन बिंदु संरेखी हों तो इनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होता है। बिंदु A(2, 3), B(4, k) तथा C(6, -3) संरेखी हैं, इसलिए इनसे बनने वाले त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल 0 वर्ग मात्रक होगा। यही संरेखता की शर्त है।

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  5. Q5लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2020, 2023

    y-अक्ष पर स्थित उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिन्दुओं ( - 5, - 2 ) तथा ( 3, 2 ) से समदूरस्थ हो ।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. हम जानते हैं कि y-अक्ष पर स्थित कोई भी बिंदु (0, y) के रूप का होता है। अतः, मान लीजिए कि बिंदु P(0, y) बिंदुओं A(-5, -2) और B(3, 2) से समदूरस्थ है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  6. Q6दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2026

    यदि बिन्दुएँ (-4, 8), (-3, -4), (0, -5) तथा (5, 6) किसी चतुर्भुज के शीर्ष हों तो उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. माना चतुर्भुज के शीर्ष A(-4, 8), B(-3, -4), C(0, -5) तथा D(5, 6) हैं। B को D से मिलाने पर हमें दो त्रिभुज ABD और BCD प्राप्त होते हैं। इस प्रकार त्रिभुज ABD में x1 = -4, y1 = 8; x2 = -3, y2 = -4; x3 = 5, y3 = 6 तथा…

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  7. Q7दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2026

    उस चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्ष ( 1, 1 ), ( 7, - 3 ), ( 12, 2 ) और ( 2, 3 ) हैं।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. विकर्ण AC खींचकर चतुर्भुज ABCD [A(1, 1), B(7, −3), C(12, 2), D(2, 3)] को दो त्रिभुजों ABC और ACD में बाँटते हैं।

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  8. Q8दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2021

    शीर्षों (0, -1), (2, 1) और (0, 3) वाले त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाने से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. त्रिभुज के शीर्ष A(0, -1), B(2, 1) और C(0, 3) हैं। मध्य-बिंदु सूत्र के अनुसार, किसी रेखाखंड के सिरों (x1, y1) और (x2, y2) के बीच के मध्य-बिंदु के निर्देशांक [(x1+x2)/2, (y1+y2)/2] होते हैं। भुजा AB का मध्य-बिंदु D =…

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  9. Q9लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    उस बिन्दु के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिन्दुओं (- 1, 7) और (4, - 3) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 3 के अनुपात में अंत:विभाजित करता है।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. मान लीजिए बिंदुओं मिलाने वाले रेखाखंड को 2 : 3 के अनुपात में अंतः विभाजित करने वाला बिंदु P(x, y) है। विभाजन सूत्र के अनुसार, m1 : m2 के अनुपात में A(x1, y1) और B(x2, y2) को मिलाने वाले रेखाखंड को आंतरिक रूप से विभाजित…

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  10. Q10लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्षों के निर्देशांक (- 5, - 1), (3, - 5) तथा (5, 2) हैं।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. शीर्षों A(x1, y1), B(x2, y2) और C(x3, y3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)| का प्रयोग करते हैं। यहाँ शीर्ष A(-5, -1), B(3, -5) और C(5,…

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  11. Q11लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    k के किस मान के लिए बिन्दुएँ (1, 1), (3, k) और (-1, 4) संरेख हैं?

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. तीन बिंदुओं (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) के संरेख होने के लिए इनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है। यहाँ दिए गए बिंदु (1, 1), (3, k) और (-1, 4) संरेखी हैं, इसलिए इनसे बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 होगा।

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  12. Q12लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    y-अक्ष पर एक ऐसा बिन्दु ज्ञात करें जो बिन्दुओं (6, 5) और (-4, 3) से समदूरस्थ हो।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. हम जानते हैं कि y-अक्ष पर स्थित कोई भी बिंदु (0, y) के रूप का होता है। अतः, मान लीजिए कि बिंदु P(0, y) बिंदुओं A(6, 5) और B(-4, 3) से समदूरस्थ है। समदूरस्थ होने की शर्त से PA = PB होगा, और इसके लिए दूरी सूत्र का प्रयोग…

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  13. Q13लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    बिन्दुओं (4, 7) तथा (7, 3) के बीच की दूरी निकालें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. किन्हीं दो बिंदुओं P(x1, y1) और Q(x2, y2) के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र (distance formula) का प्रयोग किया जाता है। दूरी सूत्र के अनुसार, PQ = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) होता है। दिए गए बिंदु (4, 7)…

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  14. Q14लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    सिद्ध करें कि बिन्दुएँ (1, 1), (-2, 7) तथा (3, -3) एकरैखिक हैं।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. यदि तीन बिन्दुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो, तो वे तीनों बिन्दु एकरैखिक (collinear) कहलाते हैं। अतः दिए गए बिन्दुओं (1, 1), (-2, 7) तथा (3, -3) को एकरैखिक सिद्ध करने के लिए हमें यह दिखाना होगा कि इनसे…

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  15. Q15लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    शीर्षों (-5, 6), (3, 0) तथा (9, 8) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दिया है: त्रिभुज ABC के शीर्ष A(x1, y1) = (-5, 6), B(x2, y2) = (3, 0) और C(x3, y3) = (9, 8) हैं। त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र (area formula): Δ ABC का क्षेत्रफल = व्यंजक 1/2 [x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)]…

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  16. Q16लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    बिन्दु P के निर्देशांक ज्ञात करें जो बिन्दुएँ A (-6, 10) और B (3, -8) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 2 : 7 के अनुपात में अंत:विभाजित करते हैं।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. बिंदु A(-6, 10) और B(3, -8) को जोड़ने वाले रेखाखंड को बिंदु P, 2 : 7 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, जहाँ m1 : m2 = 2 : 7 है। विभाजन सूत्र के अनुसार, जो बिंदु A(x1, y1) और B(x2, y2) को जोड़ने वाले रेखाखंड…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  17. Q17लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    x-अक्ष पर एक ऐसा बिन्दु ज्ञात करें जो बिन्दुओं (-2, 5) और (2, -3) से समदूरस्थ हो।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. हम जानते हैं कि x-अक्ष पर स्थित कोई भी बिंदु (x, 0) के रूप का होता है। अतः, मान लीजिए कि बिंदु P(x, 0) बिंदुओं A(-2, 5) और B(2, -3) से समदूरस्थ है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  18. Q18लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके शीर्षों के निर्देशांक (5, 2), (4, 7) तथा (7, -4) हैं।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. शीर्षों A(x1, y1), B(x2, y2) और C(x3, y3) वाले त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 [x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)] का प्रयोग किया जाता है। यहाँ दिए गए त्रिभुज के…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  19. Q19लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    सिद्ध करें कि बिन्दुएँ (7, -2), (5, 1) और (3, 4) संरेख हैं।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. माना बिंदु A(7, -2), B(5, 1) और C(3, 4) हैं। यहाँ x1 = 7, y1 = -2, x2 = 5, y2 = 1, x3 = 3, y3 = 4 है। बिंदुओं (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल व्यंजक 1/2 [x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) +…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  20. Q20लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    त्रिभुज ABC के दो शीर्ष A(6, 4) एवं B(-2, 2) हैं तथा केन्द्रक G(3, 4) है। त्रिभुज ABC के तीसरे शीर्ष C के निर्देशांक निकालें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. केन्द्रक सूत्र G = ((x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3); A(6, 4), B(−2, 2), C(x3, y3), G(3, 4) से 3 = (6 − 2 + x3)/3 तथा 4 = (4 + 2 + y3)/3।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →

इस अध्याय के 20 और प्रश्न, हर एक के आदर्श उत्तर के साथ, AskMedha ऐप में।

ऑब्जेक्टिव प्रश्न — उत्तर-कुंजी सहित (10)

  1. 1. बिहार बोर्ड 2026

    बिन्दुओं (9, 3) तथा (15, 11) के बीच की दूरी है

    • (A) 8 इकाई
    • (B) 10 इकाई ✓
    • (C) 12 इकाई
    • (D) 15 इकाई

    उत्तर: (B)

  2. 2. बिहार बोर्ड 2026

    शीर्षों (0, 7), (0, 0) तथा (24, 0) वाले त्रिभुज की परिमिति है

    • (A) 28 इकाई
    • (B) 42 इकाई
    • (C) 48 इकाई
    • (D) 56 इकाई ✓

    उत्तर: (D)

  3. 3. बिहार बोर्ड 2026

    मूल बिन्दु से बिन्दु (11, 60) की दूरी है

    • (A) 51 इकाई
    • (B) 53 इकाई
    • (C) 59 इकाई
    • (D) 61 इकाई ✓

    उत्तर: (D)

  4. 4. बिहार बोर्ड 2026

    यदि बिन्दुए (1, 2), (0, 0) तथा (a, b) एकरैखिक हैं तो

    • (A) a = b
    • (B) a = 2b
    • (C) 2a = b ✓
    • (D) a = -b

    उत्तर: (C)

  5. 5. बिहार बोर्ड 2026

    शीर्ष बिन्दुओं (3, 0), (7, 0) तथा (8, 4) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल है

    • (A) 16 सेमी^2
    • (B) 24 सेमी^2
    • (C) 8 सेमी^2 ✓
    • (D) 32 सेमी^2

    उत्तर: (C)

  6. 6. बिहार बोर्ड 2026

    किसी वर्ग के विकर्ण की लम्बाई 10sqrt(2) सेमी है तो इसका क्षेत्रफल है

    • (A) 200 सेमी^2
    • (B) 100 सेमी^2 ✓
    • (C) 150 सेमी^2
    • (D) 100sqrt(2) सेमी^2

    उत्तर: (B)

  7. 7. बिहार बोर्ड 2026

    बिन्दु ( 8sin60°, 0 ) तथा ( 0, 8sin30°) के बीच की दूरी (इकाई में) है

    • (A) 6
    • (B) 7
    • (C) 8 ✓
    • (D) 4

    उत्तर: (C)

  8. 8. बिहार बोर्ड 2026

    बिन्दु (- 6, 4) किस चतुर्थांश में स्थित है ?

    • (A) प्रथम
    • (B) द्वितीय ✓
    • (C) तृतीय
    • (D) चतुर्थ

    उत्तर: (B)

  9. 9. बिहार बोर्ड 2026

    बिन्दु P (- 6, - 15) की x-अक्ष से दूरी (इकाई में) है

    • (A) 6
    • (B) 12
    • (C) 15 ✓
    • (D) 30

    उत्तर: (C)

  10. 10. बिहार बोर्ड 2026

    बिन्दुओं (- 1, 3) एवं (- 5, 7) के बीच की दूरी (इकाई में) है

    • (A) 4 sqrt(2) ✓
    • (B) 3 sqrt(2)
    • (C) 2 sqrt(2)
    • (D) sqrt(2)

    उत्तर: (A)

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बिहार बोर्ड 10वीं गणित में "निर्देशांक ज्यामिति" से कितने अंक आते हैं?
2021 से 2026 के बिहार बोर्ड के पेपरों में इस अध्याय से औसतन लगभग 10 अंक और लगभग 14 प्रश्न हर साल पूछे गए; गणित में अंकों के हिसाब से यह 2वाँ अध्याय है।
"निर्देशांक ज्यामिति" के VVI प्रश्न कौन से हैं?
ऊपर दिए गए 20 प्रश्न बोर्ड के असली पेपरों से हैं, जिस-जिस साल पूछे गए उस साल के साथ; जो सबसे ज़्यादा बार पूछे गए वे पहले हैं और उनके आदर्श उत्तर पूरे दिए गए हैं। इस अध्याय के कुल 40 लिखित प्रश्न और उनके उत्तर AskMedha ऐप में हैं।
क्या ये उत्तर बोर्ड की marking scheme के अनुसार हैं?
BSEB अपनी marking scheme प्रकाशित नहीं करता। हर उत्तर पिछले पेपरों से निकाली गई अंक-संरचना पर बिंदुवार लिखा गया है और एक दूसरे, स्वतंत्र मॉडल से जाँचा गया है; इसे बोर्ड की आधिकारिक scheme नहीं कहा जाता।

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