अध्याय 6: त्रिभुज — नोट्स

1. 1. समरूप आकृतियाँ क्या होती हैं

   देखिए, आपको याद होगा — दो त्रिभुज सर्वांगसम तब कहलाते हैं, जब उनका आकार भी समान हो और आमाप भी समान हो।

   • • समरूप आकृतियाँ: समान आकार, आमाप समान होना ज़रूरी नहीं
   • • सभी सर्वांगसम ⇒ समरूप, पर सभी समरूप ⇒ सर्वांगसम नहीं
   • • बहुभुज समरूप ⇔ (i) संगत कोण बराबर (ii) संगत भुजाएँ समानुपाती

2. 2. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय (थेल्स प्रमेय)

   देखिए, त्रिभुज भी एक बहुभुज ही है।

   • • प्रमेय 6.1: DE || BC ⇒ AD/DB = AE/EC
   • • प्रमेय 6.2 (विलोम): AD/DB = AE/EC ⇒ DE || BC
   • • उदाहरण 1: DE||BC ⇒ AD/AB = AE/AC

3. 3. त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ

   देखिए, दो त्रिभुज समरूप तब कहलाते हैं, जब उनके संगत कोण बराबर हों, और संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों।

   • • AAA/AA कसौटी: कोण बराबर ⇒ भुजाएँ समानुपाती
   • • SSS कसौटी: भुजाएँ समानुपाती ⇒ कोण बराबर
   • • SAS कसौटी: एक कोण बराबर + अंतर्गत भुजाएँ समानुपाती
   • • उदाहरण 7: (4.8+x)/x = 3.6/0.9 ⇒ x = 1.6 m

4. 4. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात

   देखिए, क्षेत्रफल हमेशा वर्ग मात्रकों में मापा जाता है।

   • • प्रमेय 6.6: ar(ABC)/ar(PQR) = (AB/PQ)² = (BC/QR)² = (CA/RP)²
   • • उदाहरण 9: XY||AC, ar(ABC) = 2·ar(XBY)
   • • (AB/XB)² = 2/1 ⇒ AX/AB = (2−√2)/2

5. 5. पाइथागोरस प्रमेय और उसका विलोम

   देखिए, एक समकोण त्रिभुज लीजिए।

   • • प्रमेय 6.7: लंब के दोनों ओर त्रिभुज, पूरे त्रिभुज के समरूप
   • • प्रमेय 6.8: AC² = AB² + BC² (पाइथागोरस प्रमेय)
   • • प्रमेय 6.9 (विलोम): भुजा² = अन्य दो भुजाओं² का योग ⇒ सम्मुख कोण समकोण
   • • उदाहरण 11: AB² = (2.5)² + (6)² = 42.25 ⇒ AB = 6.5 m

AskMedha · मेधा मैम — बिहार बोर्ड 10वीं गणित, अध्याय 6। पाठ्यपुस्तक से लिखा, दो बार जाँचा।