अध्याय 6: त्रिभुज

VVI प्रश्न — बोर्ड ने जिन्हें सबसे ज़्यादा बार पूछा (20)

1. Q1लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2020, 2023

   ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, जिसका कोण C समकोण है । सिद्ध करें कि AB^2 = 2AC^2.

   

   मेधा मैम

   Ask Medha की AI शिक्षिका

   मेधा मैम से सुनें · 50 सेकंड

   आदर्श उत्तर · पाइथागोरस प्रमेय, समद्विबाहु समकोण त्रिभुज

   1. 1.त्रिभुज ABC में कोण C समकोण है, अतः पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। यहाँ AB कर्ण है, इसलिए AB^2 = AC^2 + BC^2 प्राप्त होता है।1 अंक
   2. 2.ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है, इसलिए AC = BC है। इस मान को ऊपर प्राप्त समीकरण AB^2 = AC^2 + BC^2 में रखने पर AB^2 = AC^2 + AC^2 = 2AC^2 प्राप्त होता है, जो सिद्ध करना था।1 अंक

   चित्र: समकोण त्रिभुज ABC बनाएं जिसमें कोण C = 90° अंकित हो, तथा AC = BC दर्शाते हुए भुजाओं AC, BC और कर्ण AB को लेबल करें।

   • पहले पैराग्राफ में 'पाइथागोरस प्रमेय' शब्द अवश्य लिखें और AB² = AC² + BC² स्पष्ट रूप से दिखाएँ।
   • दूसरे पैराग्राफ में 'समद्विबाहु' शब्द के साथ AC = BC लिखना न भूलें।
   • अंतिम परिणाम 2AC² तक पहुँचाने का चरण स्पष्ट रूप से दिखाएँ।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

2. Q2दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2025

   सिद्ध करें कि यदि किसी त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो और इन कोणों को अंतरित करने वाली भुजाएँ आनुपातिक हों तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

   

   मेधा मैम

   Ask Medha की AI शिक्षिका

   मेधा मैम से सुनें · 195 सेकंड

   आदर्श उत्तर · त्रिभुजों की समरूपता, SAS कसौटी

   1. 1.दिया है: ΔABC और ΔDEF में ∠A = ∠D तथा AB/DE = AC/DF। सिद्ध करना है: ΔABC ~ ΔDEF।1 अंक
   2. 2.रचना: DE पर बिंदु P और DF पर बिंदु Q ऐसे लिए कि DP = AB और DQ = AC; PQ को मिलाया।1 अंक
   3. 3.ΔABC और ΔDPQ में AB = DP, ∠A = ∠D, AC = DQ, अतः SAS सर्वांगसमता से ΔABC ≅ ΔDPQ, इसलिए ∠B = ∠DPQ और ∠C = ∠DQP।1 अंक
   4. 4.DP/DE = DQ/DF होने से आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से PQ ∥ EF, अतः संगत कोण ∠DPQ = ∠E और ∠DQP = ∠F।1 अंक
   5. 5.इस प्रकार ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F, अतः AAA (AA) समरूपता कसौटी से ΔABC ~ ΔDEF।1 अंक

   चित्र: दो त्रिभुज बनाएँ: त्रिभुज ABC (शीर्ष A, B, C) और त्रिभुज DEF (शीर्ष D, E, F), DEF के अंदर भुजा DE पर बिंदु P और DF पर बिंदु Q अंकित करके PQ रेखाखंड खींचें और PQ को EF के समांतर दिखाएँ।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

3. Q3दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2026

   पाइथागोरस प्रमेय को लिखें तथा सिद्ध करें।

   

   मेधा मैम

   Ask Medha की AI शिक्षिका

   मेधा मैम से सुनें · 85 सेकंड

   आदर्श उत्तर · पाइथागोरस प्रमेय, उपपत्ति

   1. 1.पाइथागोरस प्रमेय : एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।1 अंक
   2. 2.दिया है : हमें एक समकोण त्रिभुज ABC दिया है जिसका ∠B समकोण है।1 अंक
   3. 3.सिद्ध करना है : AC^2 = AB^2 + BC^20.5 अंक
   4. 4.रचना : आइए बिंदु B से कर्ण AC पर BD ⊥ AC खींचें।0.5 अंक
   5. 5.उपपत्ति : Δ ADB ~ Δ ABC है, अतः भुजाएँ समानुपाती होने के कारण AD/AB = AB/AC, या AD . AC = AB^2 ...(1)1 अंक
   6. 6.साथ ही Δ BDC ~ Δ ABC है, अतः भुजाएँ समानुपाती होने के कारण CD/BC = BC/AC, या CD . AC = BC^2 ...(2)0.5 अंक
   7. 7.(1) और (2) को जोड़ने पर AD . AC + CD . AC = AB^2 + BC^2, या AC (AD + CD) = AB^2 + BC^2, या AC . AC = AB^2 + BC^2, या AC^2 = AB^2 + BC^2, जो कि पाइथागोरस प्रमेय सिद्ध करता है।0.5 अंक

   चित्र: एक समकोण त्रिभुज ABC बनायें जिसमें ∠B समकोण हो; शीर्ष B से कर्ण AC पर लंब BD खींचें और बिंदु D को AC पर अंकित करें, त्रिभुज के शीर्षों A, B, C तथा लंब पाद D को स्पष्ट लिखें।

   • परिभाषा के पहले वाक्य में ही 'कर्ण का वर्ग', 'शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग' और 'समकोण त्रिभुज' शब्द अवश्य लिखें।
   • रचना में 'BD ⊥ AC' लिखना न भूलें, यही आगे की समरूपता सिद्ध करने का आधार है।
   • दोनों समरूपता के चरणों में 'भुजाएँ समानुपाती हैं' लिखकर AD.AC = AB^2 और CD.AC = BC^2 दोनों समीकरण जरूर दें, फिर उन्हें जोड़कर परिणाम लिखें।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

4. Q4दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2026

   सिद्ध करें कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. दिया है कि त्रिभुज ABC समरूप है त्रिभुज PQR के, अर्थात् Δ ABC ~ Δ PQR है। हमें सिद्ध करना है कि दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

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5. Q5दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2026

   सिद्ध करें कि यदि समकोण त्रिभुज के समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लंब डाला गया हो तो लंब रेखा के दोनों ओर के त्रिभुज परस्पर और मूल त्रिभुज के समरूप होते हैं।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. दिया है कि त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण B समकोण है। मान लीजिए BD कर्ण AC पर लंब है, अर्थात् BD ⊥ AC है। सिद्ध करना है कि लंब BD के दोनों ओर बने त्रिभुज संपूर्ण त्रिभुज ABC के समरूप हैं तथा परस्पर भी समरूप…

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6. Q6दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2022

   सिद्ध करें कि यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के समांतर एक रेखा खींची जाए, तो अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में विभाजित हो जाती है।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. माना त्रिभुज ABC दिया है, जिसमें भुजा BC के समांतर खींची गई एक रेखा DE अन्य दो भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर प्रतिच्छेद करती है।

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7. Q7दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2021

   सिद्ध करें कि यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करती है, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. दिया है कि त्रिभुज ABC में एक रेखा DE भुजाओं AB और AC को क्रमशः D और E पर इस प्रकार काटती है कि AD/DB = AE/EC है।

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8. Q8लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

   एक समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा AD के बढ़े भाग पर E एक बिन्दु है एवं BE, CD को F पर प्रतिच्छेद करता है तो सिद्ध करें कि त्रिभुज ABE ~ त्रिभुज CFB.

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. दिया है कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जिसकी भुजा AD के बढ़े भाग पर बिंदु E स्थित है तथा BE, CD को F पर प्रतिच्छेद करता है। समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते हैं, अतः ∠A = ∠C, अर्थात् ∠EAB = ∠FCB।

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9. Q9लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

   ABC एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है। सिद्ध करें कि AB^2 = 2AC^2.

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. त्रिभुज ABC में कोण C समकोण है, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। यहाँ AB कर्ण है, अतः AB^2 = AC^2 + BC^2 प्राप्त होता है।

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10. Q10लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि AD लंब BC और EF लंब AC है, तो सिद्ध करें कि त्रिभुज ABD ~ त्रिभुज ECF.

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. AB = AC होने से ∠ABC = ∠ACB। E, CB के बढ़ाए भाग पर है, अतः ∠ABD वही कोण है जो ∠ABC, और ∠ECF वही कोण है जो ∠ACB; इसलिए ∠ABD = ∠ECF।

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11. Q11लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    एक त्रिभुज ABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM क्रमशः समानुपाती हैं तो सिद्ध करें कि त्रिभुज ABC ~ त्रिभुज PQR.

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. (प्रश्न का 'PR' यहाँ QR पढ़ा गया है — माध्यिका PM भुजा QR पर है।) AD और PM माध्यिकाएँ हैं, अतः BC = 2BD और QR = 2QM। AB/PQ = BC/QR = AD/PM से AB/PQ = BD/QM = AD/PM, अतः SSS समरूपता से ΔABD ~ ΔPQM और ∠B = ∠Q।

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12. Q12लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज DEF समरूप हैं तथा इनके क्षेत्रफल क्रमशः 9 सेमी^2 तथा 64 सेमी^2 हैं। यदि DE = 5.1 सेमी हो तो AB ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। त्रिभुज ABC तथा त्रिभुज DEF समरूप हैं, इसलिए क्षेत्रफल(ABC)/क्षेत्रफल(DEF) = (AB/DE)^2 होगा, जहाँ AB और DE इन त्रिभुजों की…

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13. Q13लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    किसी त्रिभुज PQR में दो बिन्दु S और T भुजाओं PQ तथा PR पर क्रमशः इस प्रकार हैं कि PS/SQ = PT/TR तथा angle PST = angle PRQ, तो सिद्ध करें कि deltaPQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. त्रिभुज PQR में बिंदु S और T क्रमशः भुजाओं PQ और PR पर इस प्रकार स्थित हैं कि PS/SQ = PT/TR है। यह थेल्स प्रमेय (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय) के विलोम के अनुसार है कि यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को किन्हीं बिंदुओं पर…

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14. Q14लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    किसी त्रिभुज PQR में दो बिन्दु S और T भुजाओं PQ तथा PR पर क्रमशः इस प्रकार हैं कि PS/SQ = PT/TR तथा angle PST = angle PRQ, तो सिद्ध करें कि triangle PQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. यह दिया है कि त्रिभुज PQR में बिंदु S और T क्रमशः भुजाओं PQ तथा PR पर इस प्रकार स्थित हैं कि PS/SQ = PT/TR है। थेल्स प्रमेय के विलोम से, यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाओं को किसी बिंदु पर इस प्रकार विभाजित किया जाए कि वे…

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15. Q15लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    AB = AC वाले एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि AD लम्ब BC और EF लम्ब AC है, तो सिद्ध करें कि triangle ABD समरूप triangle ECF है।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. AB = AC होने से ∠ABC = ∠ACB (समान भुजाओं के सम्मुख कोण); E, CB के बढ़ाए भाग पर है, अतः ∠ABD = ∠ECF।

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16. Q16लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    AB = AC वाले एक समद्विबाहु ΔABC की बढ़ाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है। यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC, तो सिद्ध करें कि ΔABD ~ ΔECF।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. त्रिभुज ABC समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। समद्विबाहु त्रिभुज में बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं, इसलिए कोण B = कोण C होता है।

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17. Q17लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    एक ΔABC की भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य ΔPQR की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM क्रमशः समानुपाती हैं तो सिद्ध करें कि ΔABC ~ ΔPQR.

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. (प्रश्न का 'PR' यहाँ QR पढ़ा गया है — माध्यिका PM भुजा QR पर है।) AD और PM माध्यिकाएँ हैं, अतः BC = 2BD और QR = 2QM। AB/PQ = BC/QR = AD/PM से AB/PQ = BD/QM = AD/PM, अतः SSS समरूपता से ΔABD ~ ΔPQM और ∠B = ∠Q।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
18. Q18लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    ΔABC तथा ΔDEF समरूप हैं तथा इनके क्षेत्रफल क्रमशः 9 सेमी^2 तथा 64 सेमी^2 हैं। यदि DE = 5.1 सेमी हो तो AB ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात इनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। यहाँ ΔABC ~ ΔDEF हैं, अतः ar(ABC)/ar(DEF) = (AB/DE)^2 होगा, जहाँ AB और DE संगत भुजाएँ हैं।

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19. Q19लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    दो त्रिभुजों की समरूपता की भुजा-कोण-भुजा कसौटी को लिखें तथा चित्र के साथ भी व्यक्त करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ समानुपाती हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं। इस कसौटी को दो त्रिभुजों की समरूपता की SAS (भुजा-कोण-भुजा) कसौटी कहा…

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20. Q20लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    ΔABC ~ ΔPQR तथा इनके क्षेत्रफल क्रमशः 64 सेमी^2 तथा 121 सेमी^2 हैं। यदि QR = 15.4 सेमी तो BC का मान निकालें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के वर्गों के अनुपात के बराबर होता है। दिया है ΔABC ~ ΔPQR तथा ar(ABC) = 64 सेमी², ar(PQR) = 121 सेमी², QR = 15.4 सेमी। अतः ar(ABC)/ar(PQR) = (BC/QR)^2।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →

इस अध्याय के 20 और प्रश्न, हर एक के आदर्श उत्तर के साथ, Ask Medha ऐप में।

ऑब्जेक्टिव प्रश्न — उत्तर-कुंजी सहित (10)

1. 1. बिहार बोर्ड 2026

   यदि समचतुर्भुज के विकर्णों की लम्बाई क्रमशः 10 सेमी तथा 24 सेमी हों तो उसकी प्रत्येक भुजा की लम्बाई है

   • (A) 5 सेमी
   • (B) 12 सेमी
   • (C) 13 सेमी ✓
   • (D) 17 सेमी

   उत्तर: (C)

2. 2. बिहार बोर्ड 2026

   यदि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों तथा एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं तो वह चतुर्भुज है

   • (A) आयत
   • (B) वर्ग ✓
   • (C) समलम्ब चतुर्भुज
   • (D) समचतुर्भुज

   उत्तर: (B)

3. 3. बिहार बोर्ड 2026

   समचतुर्भुज के विकर्णों में क्या सम्बन्ध होता है ?

   • (A) बराबर
   • (B) समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं
   • (C) समकोण पर समद्विभाजित करते हैं ✓
   • (D) इनमें से कोई नहीं

   उत्तर: (C)

4. 4. बिहार बोर्ड 2026

   निम्नलिखित में किस प्रकार के सभी त्रिभुज समरूप होते हैं ?

   • (A) विषमबाहु त्रिभुज
   • (B) समद्विबाहु त्रिभुज
   • (C) समबाहु त्रिभुज ✓
   • (D) इनमें से कोई नहीं

   उत्तर: (C)

5. 5. बिहार बोर्ड 2026

   समान भुजाओं वाले दो बहुभुज समरूप हैं तो उनकी संगत भुजाओं में सम्बन्ध है

   • (A) बराबर
   • (B) समानुपाती ✓
   • (C) व्युत्क्रमानुपाती
   • (D) इनमें से कोई नहीं

   उत्तर: (B)

6. 6. बिहार बोर्ड 2026

   दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात 4 : 9 है तो उनकी संगत भुजाओं का अनुपात है

   • (A) 3 : 2
   • (B) 9 : 4
   • (C) 4 : 9
   • (D) 2 : 3 ✓

   उत्तर: (D)

7. 7. बिहार बोर्ड 2026

   यदि त्रिभुज ABC ~ त्रिभुज DEF तथा AB/DE = 3/5 तो FD/CA =

   • (A) 9 : 25
   • (B) 25 : 9
   • (C) 3 : 5
   • (D) 5 : 3 ✓

   उत्तर: (D)

8. 8. बिहार बोर्ड 2026

   त्रिभुज ABC ~ त्रिभुज PQR तथा उनकी परिमिति क्रमशः 32 सेमी तथा 24 सेमी हैं। यदि AB = 10 सेमी तो PQ =

   • (A) 7 सेमी
   • (B) 40/3 सेमी
   • (C) 15/2 सेमी ✓
   • (D) 15 सेमी

   उत्तर: (C)

9. 9. बिहार बोर्ड 2026

   2a सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई की लम्बाई है

   • (A) a*sqrt(3)/2 सेमी
   • (B) a*sqrt(2)/3 सेमी
   • (C) a*sqrt(2) सेमी
   • (D) a*sqrt(3) सेमी ✓

   उत्तर: (D)

10. 10. बिहार बोर्ड 2026

    निम्नांकित में कौन-सा विकल्प पाइथागोरियन त्रिक नहीं है ?

    • (A) 12, 35, 37
    • (B) 28, 45, 53
    • (C) 16, 63, 65
    • (D) 17, 61, 69 ✓

    उत्तर: (D)

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बिहार बोर्ड 10वीं गणित में "त्रिभुज" से कितने अंक आते हैं?

2021 से 2026 के बिहार बोर्ड के पेपरों में इस अध्याय से औसतन लगभग 8 अंक और लगभग 11 प्रश्न हर साल पूछे गए; गणित में अंकों के हिसाब से यह 4वाँ अध्याय है।

"त्रिभुज" के VVI प्रश्न कौन से हैं?

ऊपर दिए गए 20 प्रश्न बोर्ड के असली पेपरों से हैं, जिस-जिस साल पूछे गए उस साल के साथ; जो सबसे ज़्यादा बार पूछे गए वे पहले हैं और उनके आदर्श उत्तर पूरे दिए गए हैं। इस अध्याय के कुल 40 लिखित प्रश्न और उनके उत्तर Ask Medha ऐप में हैं।

क्या ये उत्तर बोर्ड की marking scheme के अनुसार हैं?

BSEB अपनी marking scheme प्रकाशित नहीं करता। हर उत्तर पिछले पेपरों से निकाली गई अंक-संरचना पर बिंदुवार लिखा गया है और एक दूसरे, स्वतंत्र मॉडल से जाँचा गया है; इसे बोर्ड की आधिकारिक scheme नहीं कहा जाता।