अध्याय 5: समांतर श्रेढ़ियाँ

VVI प्रश्न — बोर्ड ने जिन्हें सबसे ज़्यादा बार पूछा (20)

1. Q1लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022, 2025

   यदि किसी समांतर श्रेढ़ी का 5 वाँ एवं 9 वाँ पद क्रमशः 43 एवं 79 हैं तो समांतर श्रेढ़ी ज्ञात करें।

   

   मेधा मैम

   AskMedha की AI शिक्षिका

   मेधा मैम से सुनें · 85 सेकंड

   आदर्श उत्तर · दो पदों से समांतर श्रेढ़ी ज्ञात करना

   1. 1.समांतर श्रेढ़ी के nवें पद का सूत्र a_n = a + (n - 1) d है, जहाँ a प्रथम पद और d सार्व अंतर है। दिया है कि 5वाँ पद 43 है, अतः a_5 = a + (5 - 1) d = a + 4d = 43 ... (1) तथा 9वाँ पद 79 है, अतः a_9 = a + (9 - 1) d = a + 8d = 79 ... (2) समीकरण (2) से समीकरण (1) घटाने पर 4d = 36 अतः d = 9 प्राप्त होता है।1 अंक
   2. 2.d = 9 का मान समीकरण a + 4d = 43 में रखने पर a + 4(9) = 43 अर्थात् a + 36 = 43 अतः a = 7 प्राप्त होता है। इस प्रकार प्रथम पद a = 7 और सार्व अंतर d = 9 है। अतः वांछित समांतर श्रेढ़ी 7, 16, 25, 34, ... है, जो a_n = a + (n - 1) d सूत्र से a, a+d, a+2d, a+3d, ... के रूप में प्राप्त होती है।1 अंक

   • पहले पैराग्राफ में दोनों समीकरण a+4d=43 और a+8d=79 स्पष्ट रूप से लिखें।
   • d = 9 निकालने की प्रक्रिया अवश्य दिखाएँ।
   • दूसरे पैराग्राफ में a = 7, d = 9 और पूरी समांतर श्रेढ़ी 7, 16, 25, 34, ... लिखें।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

2. Q2लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2017, 2022

   समांतर श्रेढ़ी 21, 18, 15, ... का कौन-सा पद -81 है ?

   

   मेधा मैम

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   मेधा मैम से सुनें · 50 सेकंड

   आदर्श उत्तर · समांतर श्रेढ़ी का nवाँ पद

   1. 1.दी हुई समांतर श्रेढ़ी (A.P.) 21, 18, 15, ... में प्रथम पद a = 21 है और सार्व अंतर d = 18 - 21 = -3 है।1 अंक
   2. 2.सूत्र a_n = a + (n - 1)d का उपयोग करने पर, जहाँ a_n = -81 है, हमें प्राप्त होता है: -81 = 21 + (n - 1)(-3) या -81 = 24 - 3n या -105 = -3n अतः n = 35 है। इसलिए दी हुई A.P. का 35वाँ पद -81 है।1 अंक

   • पहले पंक्ति में a = 21 और d = -3 स्पष्ट रूप से लिखें।
   • सूत्र a_n = a + (n - 1)d लिखकर उसमें मान रखें।
   • अंत में यह अवश्य लिखें कि दी हुई A.P. का 35वाँ पद -81 है।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

3. Q3लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

   3 + 11 + 19 + ... + 67 का योगफल ज्ञात करें।

   

   मेधा मैम

   AskMedha की AI शिक्षिका

   मेधा मैम से सुनें · 85 सेकंड

   आदर्श उत्तर · समांतर श्रेणी का योगफल, अंतिम पद ज्ञात

   1. 1.दी गई समांतर श्रेणी (AP) 3 + 11 + 19 + ... + 67 में प्रथम पद a = 3 है, सार्व अंतर d = 11 - 3 = 8 है और अंतिम पद l = 67 है।0.5 अंक
   2. 2.पदों की संख्या n ज्ञात करने के लिए सूत्र l = a + (n - 1)d का प्रयोग करते हैं। मान रखने पर 67 = 3 + (n - 1) * 8 से (n - 1) = 8, अतः n = 9 प्राप्त होता है।0.5 अंक
   3. 3.समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योगफल ज्ञात करने के लिए सूत्र S_n = n/2 * (a + l) का प्रयोग किया जाता है, जहाँ n पदों की संख्या, a प्रथम पद और l अंतिम पद है।0.5 अंक
   4. 4.सूत्र S_n = n/2 * (a + l) में n = 9, a = 3 और l = 67 का मान रखने पर: S_9 = 9/2 * (3 + 67) S_9 = 9/2 * 70 S_9 = 9 * 35 S_9 = 315 अतः अभीष्ट योगफल 315 है।0.5 अंक

   • पहले पैराग्राफ में a = 3, d = 8 और l = 67 तीनों मान स्पष्ट लिखें।
   • n ज्ञात करने हेतु सूत्र l = a + (n-1)d लिखकर n = 9 दिखाएँ।
   • अंत में S_n = n/2(a+l) सूत्र में मान रखकर पूरी गणना दिखाते हुए S_9 = 315 लिखें।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

4. Q4लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

   समान्तर श्रेढ़ी 6, 10, 14, 18, ..., 174 में कुल कितने पद हैं ?

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. दी गई समान्तर श्रेढ़ी 6, 10, 14, 18, ..., 174 में प्रथम पद a = 6 है और सार्व अंतर d = 10 - 6 = 4 है।

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5. Q5लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

   यदि समान्तर श्रेढ़ी के तीन क्रमागत पदों का योगफल 15 तथा गुणनफल 105 हो तो उन पदों को ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. माना समान्तर श्रेढ़ी के तीन क्रमागत पद (a - d), a, (a + d) हैं, जहाँ a मध्य पद है और d सार्व अंतर है।

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6. Q6लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

   यदि किसी समांतर श्रेणी का तीसरा पद 4 तथा 9 वाँ पद - 8 है तो A.P. ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. समांतर श्रेढ़ी के n-वें पद का सूत्र a + (n-1)d है, जहाँ a प्रथम पद और d सार्व अंतर है। तीसरा पद a_3 = a + (3-1)d = a + 2d = 4 है, अतः समीकरण a + 2d = 4 प्राप्त होता है। नौवाँ पद a_9 = a + (9-1)d = a + 8d = -8 है, अतः…

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7. Q7लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

   समांतर श्रेणी 8, 3, - 2, - 7, ... के प्रथम 12 पदों का योगफल ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. दी गई समांतर श्रेणी 8, 3, -2, -7, ... में प्रथम पद a = 8 है और सार्व अंतर d = 3 - 8 = -5 है।

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8. Q8लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

   दो अंकों वाली कितनी संख्याएँ 5 से विभाज्य हैं ?

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. दो अंकों वाली 5 से विभाज्य संख्याओं की सूची 10, 15, 20, . . ., 95 है। यह एक समान्तर श्रेढ़ी बनाती है।

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9. Q9लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

   यदि किसी A.P. के प्रथम 14 पदों का योग 1050 है तथा इसका प्रथम पद 10 है तो इसका सार्व अंतर ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. समांतर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों के योग का सूत्र S_n = n/2 [2a + (n-1)d] है। यहाँ प्रथम पद a = 10, पदों की संख्या n = 14 तथा योग S_14 = 1050 दिया गया है। सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 1050 = 14/2 [2(10) +…

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10. Q10लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    समांतर श्रेढ़ी 9, 13, 17, 21, ... का 20 वाँ पद ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दी गई समांतर श्रेढ़ी 9, 13, 17, 21, ... में प्रथम पद a = 9 है और सार्व अंतर d = 13 - 9 = 4 है।

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11. Q11लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    0 और 50 के बीच स्थित विषम संख्याओं का योगफल निकालें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. 0 और 50 के बीच स्थित विषम संख्याओं की सूची 1, 3, 5, ..., 49 है, जो एक समांतर श्रेढ़ी (A.P.) है, जिसका सार्व अंतर d = 2 है।

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12. Q12लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं ?

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. तीन अंकों वाली 7 से विभाज्य संख्याओं की सूची 105, 112, 119, ..., 994 है। यह एक समांतर श्रेढ़ी है, क्योंकि क्रमागत पदों का अंतर समान है। यहाँ प्रथम पद a = 105, सार्व अंतर d = 7 और अंतिम पद a_n = 994 है।

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13. Q13लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    समांतर श्रेढ़ी 8, 3, -2, ... के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दी गई समांतर श्रेढ़ी 8, 3, -2, ... में प्रथम पद a = 8 है। इस श्रेढ़ी का सार्व अंतर d = 3 - 8 = -5 है।

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14. Q14लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    समांतर श्रेढ़ी 3, 10, 17, ... का कौन-सा पद उसके 13 वें पद से 84 अधिक होगा ?

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दी गई समांतर श्रेढ़ी 3, 10, 17, ... में प्रथम पद a = 3 है और सार्व अंतर d = 10 - 3 = 7 है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
15. Q15लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    समांतर श्रेढ़ी - 40, - 15, 10, 35, ... का 10 वाँ पद क्या होगा ?

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दी हुई समांतर श्रेढ़ी - 40, - 15, 10, 35, ... में प्रथम पद a = - 40 है और सार्व अंतर d = (- 15) - (- 40) = 25 है।

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16. Q16लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों का योगफल निकालें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. 6 से विभाज्य प्रथम 40 धन पूर्णांकों की श्रेणी 6, 12, 18, ..., 240 है, जो एक समांतर श्रेढ़ी (A.P.) बनाती है।

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17. Q17लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2023

    एक समांतर श्रेढ़ी जिसमें (a21 - a7) = 84 है, का सार्व अंतर ज्ञात करें ।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. समांतर श्रेढ़ी के nवें पद का सूत्र an = a + (n - 1)d होता है। इस सूत्र का प्रयोग करने पर 21वाँ पद a21 = a + (21 - 1)d = a + 20d प्राप्त होता है और 7वाँ पद a7 = a + (7 - 1)d = a + 6d प्राप्त होता है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
18. Q18लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2023

    समांतर श्रेढ़ी 7, 13, 19, ... का कौन-सा पद 205 है ?

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. समांतर श्रेढ़ी 7, 13, 19, ... में प्रथम पद a = 7 है और सार्व अंतर d = 13 - 7 = 6 है।

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19. Q19लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2023

    5 + 9 + 13 + 17 + ... + 81 का योगफल ज्ञात करें ।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दी गई समांतर श्रेढ़ी 5 + 9 + 13 + 17 + ... + 81 में प्रथम पद a = 5 है, सार्व अंतर d = 9 - 5 = 4 है और अंतिम पद l = 81 है।

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20. Q20लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2023

    यदि संख्याएँ (2n - 1), (3n + 2) तथा (6n - 1) समांतर श्रेढ़ी में हों तो संख्याएँ ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. यदि संख्याएँ (2n - 1), (3n + 2) तथा (6n - 1) समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Progression) में हैं, तो समांतर श्रेढ़ी के गुणधर्म के अनुसार मध्य पद का दोगुना शेष दो पदों के योग के बराबर होता है। अतः समीकरण बनता है: 2(3n + 2) =…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →

इस अध्याय के 10 और प्रश्न, हर एक के आदर्श उत्तर के साथ, AskMedha ऐप में।

ऑब्जेक्टिव प्रश्न — उत्तर-कुंजी सहित (10)

1. 1. बिहार बोर्ड 2026

   यदि 3, x, y तथा 15 समांतर श्रेढ़ी में हैं तो x + y =

   • (A) 9
   • (B) 18 ✓
   • (C) 27
   • (D) 36

   उत्तर: (B)

2. 2. बिहार बोर्ड 2026

   अनुक्रम 5, 9, 13, 17, 21, ... का सार्व अंतर है

   • (A) 5
   • (B) -4
   • (C) 4 ✓
   • (D) -5

   उत्तर: (C)

3. 3. बिहार बोर्ड 2026

   अनुक्रम - 5, - 1, 3, 7, ... का 13 वाँ पद है

   • (A) 35
   • (B) 39
   • (C) 43 ✓
   • (D) 47

   उत्तर: (C)

4. 4. बिहार बोर्ड 2026

   प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल होता है

   • (A) n(n+1)(2n+1)/6
   • (B) n(n+1)/2 ✓
   • (C) {n(n+1)/2}^2
   • (D) n(n-1)/2

   उत्तर: (B)

5. 5. बिहार बोर्ड 2026

   11 + 12 + 13 + ... + 45 =

   • (A) 970
   • (B) 980 ✓
   • (C) 990
   • (D) 1080

   उत्तर: (B)

6. 6. बिहार बोर्ड 2026

   समान्तर श्रेढ़ी sqrt(7), sqrt(28), sqrt(63), ... का अगला पद है

   • (A) sqrt(70)
   • (B) sqrt(84)
   • (C) sqrt(98)
   • (D) sqrt(112) ✓

   उत्तर: (D)

7. 7. बिहार बोर्ड 2026

   समान्तर श्रेढ़ी 3, 7, 11, 15, ..., के कितने पदों का योगफल 406 होगा ?

   • (A) 10
   • (B) 12
   • (C) 14 ✓
   • (D) 20

   उत्तर: (C)

8. 8. बिहार बोर्ड 2026

   समान्तर श्रेढ़ी के प्रथम n पदों का योगफल (5n - n^2) है तो इसका n वाँ पद है

   • (A) 5 - 2n
   • (B) 6 - 2n ✓
   • (C) 2n - 5
   • (D) 2n - 6

   उत्तर: (B)

9. 9. बिहार बोर्ड 2026

   समांतर श्रेढ़ी 7, 7+sqrt(3), 7+2sqrt(3), 7+3sqrt(3) का सार्व अंतर है

   • (A) 3
   • (B) sqrt(3) ✓
   • (C) 7
   • (D) 2

   उत्तर: (B)

10. 10. बिहार बोर्ड 2026

    निम्नलिखित में कौन समांतर श्रेढ़ी में नहीं है?

    • (A) -7, -5, -3, -1, ...
    • (B) 3, 5, 7, 9, ...
    • (C) 2, 4, 6, 8, ...
    • (D) 2^2, 4^2, 6^2, 8^2, ... ✓

    उत्तर: (D)

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बिहार बोर्ड 10वीं गणित में "समांतर श्रेढ़ियाँ" से कितने अंक आते हैं?

2021 से 2026 के बिहार बोर्ड के पेपरों में इस अध्याय से औसतन लगभग 7 अंक और लगभग 11 प्रश्न हर साल पूछे गए; गणित में अंकों के हिसाब से यह 6वाँ अध्याय है।

"समांतर श्रेढ़ियाँ" के VVI प्रश्न कौन से हैं?

ऊपर दिए गए 20 प्रश्न बोर्ड के असली पेपरों से हैं, जिस-जिस साल पूछे गए उस साल के साथ; जो सबसे ज़्यादा बार पूछे गए वे पहले हैं और उनके आदर्श उत्तर पूरे दिए गए हैं। इस अध्याय के कुल 30 लिखित प्रश्न और उनके उत्तर AskMedha ऐप में हैं।

क्या ये उत्तर बोर्ड की marking scheme के अनुसार हैं?

BSEB अपनी marking scheme प्रकाशित नहीं करता। हर उत्तर पिछले पेपरों से निकाली गई अंक-संरचना पर बिंदुवार लिखा गया है और एक दूसरे, स्वतंत्र मॉडल से जाँचा गया है; इसे बोर्ड की आधिकारिक scheme नहीं कहा जाता।