अध्याय 4: द्विघात समीकरण — नोट्स

1. 1. द्विघात समीकरण क्या होता है

   देखिए, आपने पहले बहुपद पढ़े हैं।

   • • मानक रूप: ax^2 + bx + c = 0, a ≠ 0
   • • उदाहरण: 2x^2 + x − 300 = 0
   • • (x−2)^2+1 = 2x−3 → x^2−6x+8 = 0 (द्विघात)
   • • x(x+1)+8 = (x+2)(x−2) → x+12 = 0 (द्विघात नहीं)

2. 2. मूल क्या होता है

   एक वास्तविक संख्या α द्विघात समीकरण ax^2+bx+c = 0 का मूल कहलाती है, यदि aα^2+bα+c = 0 हो।

   • • α मूल है यदि aα^2+bα+c = 0
   • • 2x^2−3x+1 = 0 में x = 1 जाँचें
   • • (2×1) − (3×1)+1 = 0 ✓
   • • अधिक से अधिक 2 मूल संभव

3. 3. गुणनखंडों द्वारा हल

   देखिए, इस विधि में हम द्विघात बहुपद को दो रैखिक गुणनखंडों में तोड़ते हैं।

   • • 2x^2−5x+3 = 0
   • • मध्य पद: -5x = -2x−3x
   • • 2x(x−1) − 3(x−1) = 0
   • • (2x−3)(x−1) = 0
   • • मूल: x = 3/2, x = 1

4. 4. पूर्ण वर्ग बनाकर हल

   देखिए, इस तरीके में हम समीकरण को (x+a)² − b² = 0 के रूप में बदलते हैं।

   • • x^2+4x−5 = 0 → (x+2)^2-9 = 0
   • • 5x^2−6x−2 = 0 → (5x−3)^2 = 19
   • • x = (3±√19)/5
   • • (2x+3/4)^2=-71/16<0 → कोई वास्तविक मूल नहीं

5. 5. द्विघाती सूत्र

   देखिए, एक सीधा सूत्र है जो हर द्विघात समीकरण के मूल निकाल देता है।

   • • द्विघाती सूत्र: x = (-b±√(b^2−4ac))/2a
   • • 2x^2+x−528 = 0, a = 2,b = 1,c=-528
   • • x = (-1±65)/4 = 16 या -33/2
   • • चौड़ाई = 16m, लंबाई = 33m

6. 6. मूलों की प्रकृति और विविक्तकर

   b^2−4ac को द्विघात समीकरण ax^2+bx+c = 0 का विविक्तकर कहते हैं, क्योंकि यही यह तय करता है कि मूल वास्तविक हैं या नहीं।

   • • विविक्तकर = b^2−4ac
   • • b^2−4ac>0 → दो भिन्न वास्तविक मूल
   • • b^2−4ac = 0 → दो बराबर मूल
   • • b^2−4ac<0 → कोई वास्तविक मूल नहीं

AskMedha · मेधा मैम — बिहार बोर्ड 10वीं गणित, अध्याय 4। पाठ्यपुस्तक से लिखा, दो बार जाँचा।