अध्याय 4: द्विघात समीकरण

VVI प्रश्न — बोर्ड ने जिन्हें सबसे ज़्यादा बार पूछा (20)

1. Q1लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022, 2025

   दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात करें जिनके वर्गों का योग 365 हो।

   

   मेधा मैम

   AskMedha की AI शिक्षिका

   मेधा मैम से सुनें · 85 सेकंड

   आदर्श उत्तर · द्विघात समीकरण, शब्द समस्या

   1. 1.माना कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों में छोटा पूर्णांक x है। तब दूसरा क्रमागत धनात्मक पूर्णांक x + 1 होगा।0.5 अंक
   2. 2.प्रश्न के अनुसार इन दोनों पूर्णांकों के वर्गों का योग 365 है। अतः इसे समीकरण के रूप में लिखने पर x^2 + (x + 1)^2 = 365 प्राप्त होता है।0.5 अंक
   3. 3.इस समीकरण को हल करने पर x^2 + x^2 + 2x + 1 = 365 अर्थात् 2x^2 + 2x - 364 = 0 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर x^2 + x - 182 = 0 प्राप्त होता है, जो x में एक द्विघात समीकरण है।0.5 अंक
   4. 4.इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर (x - 13)(x + 14) = 0 प्राप्त होता है, जिससे x = 13 या x = -14 प्राप्त होता है। परन्तु x एक धनात्मक पूर्णांक दिया है, अतः x = -14 नहीं लिया जा सकता। इसलिए x = 13 होगा और दूसरा पूर्णांक x + 1 = 14 होगा। अतः दोनों क्रमागत धनात्मक पूर्णांक 13 और 14 हैं।0.5 अंक

   • माना कि दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक x और x+1 हैं, यह स्पष्ट लिखें।
   • वर्गों के योग का समीकरण x^2 + (x+1)^2 = 365 अवश्य लिखें।
   • गुणनखंड करके x = -14 को धनात्मक पूर्णांक न होने के कारण अस्वीकार करना न भूलें।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

2. Q2लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2020, 2022

   द्विघात समीकरण 4x^2 - 5x + 3 = 0 के मूलों की प्रकृति ज्ञात करें।

   

   मेधा मैम

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   आदर्श उत्तर · मूलों की प्रकृति, द्विघात समीकरण

   1. 1.विविक्तकर D = b² − 4ac; a = 4, b = −5, c = 3 रखने पर D = (−5)² − 4 × 4 × 3 = 25 − 48 = −23।1 अंक
   2. 2.चूँकि D < 0 है, अतः समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।1 अंक

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

3. Q3लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2020, 2022

   दो धन पूर्ण संख्याओं का योग 27 है एवं उनका गुणनफल 182 है, तो संख्याएँ ज्ञात करें।

   

   मेधा मैम

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   मेधा मैम से सुनें · 95 सेकंड

   आदर्श उत्तर · द्विघात समीकरण, शब्द समस्या

   1. 1.माना कि दो संख्याएँ x और (27-x) हैं, क्योंकि उनका योग 27 है, अर्थात् x + (27-x) = 27। प्रश्न के अनुसार इनका गुणनफल 182 है, इसलिए x(27-x) = 182 होगा, जो x में एक द्विघात समीकरण बनाता है।0.5 अंक
   2. 2.समीकरण x(27-x) = 182 को हल करने पर 27x - x^2 = 182 प्राप्त होता है, अर्थात् x^2 - 27x + 182 = 0, जो x में एक द्विघात समीकरण है।0.5 अंक
   3. 3.गुणनखंड विधि द्वारा द्विघात समीकरण x^2 - 27x + 182 = 0 को हल करने पर x^2 - 13x - 14x + 182 = 0, अर्थात् x(x-13) - 14(x-13) = 0, अर्थात् (x-13)(x-14) = 0 प्राप्त होता है। अतः x = 13 या x = 14।0.5 अंक
   4. 4.अतः अभीष्ट संख्याएँ 13 और 14 हैं, जो समीकरण x + (27-x) = 27 तथा x^2 - 27x + 182 = 0 को संतुष्ट करती हैं।0.5 अंक

   • पहले पद में 'माना' लिखकर दोनों संख्याओं को x और (27-x) के रूप में अवश्य दर्शाएँ।
   • समीकरण बनाने के बाद उसे द्विघात समीकरण x^2 - 27x + 182 = 0 के रूप में अवश्य लिखें।
   • गुणनखंड विधि से (x-13)(x-14)=0 दिखाकर अंत में संख्याएँ 13 और 14 स्पष्ट रूप से लिखें।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

4. Q4लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2017, 2022

   हल करें sqrt(13 - x^2) = x + 5.

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 13 − x² = (x + 5)² = x² + 10x + 25।

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5. Q5दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2026

   द्विघात समीकरण ax^2 + bx + c = 0 जहाँ a, b तथा c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a ≠ 0 तो सिद्ध करें कि x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a.

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. द्विघात समीकरण ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) पर विचार कीजिए। समस्त पदों को a से भाग देने पर, हम पाते हैं: x^2 + b/a x + c/a = 0।

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6. Q6दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2022

   दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। यदि छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है, तो दोनों संख्याएँ ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. माना कि दो संख्याओं में बड़ी संख्या x है और छोटी संख्या y है।

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7. Q7दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2022

   एक समकोण त्रिभुज का लम्ब उसके आधार से 7 सेमी कम है तथा कर्ण 13 सेमी है। त्रिभुज का आधार ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. माना कि त्रिभुज का आधार x सेमी है। प्रश्न के अनुसार, त्रिभुज का लम्ब उसके आधार से 7 सेमी कम है, अतः लम्ब = (x - 7) सेमी होगा।

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8. Q8दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2023

   50 को दो भागों में इस प्रकार बाँटें कि उनके व्युत्क्रमों का योग 1/12 हो।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. माना कि 50 का पहला भाग x है। तब दूसरा भाग (50 - x) होगा।

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9. Q9दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2023

   50 को दो भागों में इस प्रकार बाँटें कि उनके व्युत्क्रमों का योग 1/12 हो।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. माना कि 50 का पहला भाग x है। तब दूसरा भाग 50 - x होगा।

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10. Q10दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2021

    दो अंकों की एक संख्या अपने अंकों के जोड़ की चार गुनी है एवं अपने अंकों के गुणनफल की दोगुनी है, तो संख्या ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. माना कि अभीष्ट दो अंकों की संख्या में दहाई का अंक x और इकाई का अंक y है। तब संख्या 10x + y होगी।

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11. Q11दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2021

    पिता तथा उसके पुत्र की आयु का योग 45 वर्ष है। पाँच वर्ष पूर्व उनकी आयु का गुणनफल 124 था। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. माना कि पिता की वर्तमान आयु x वर्ष है। क्योंकि पिता तथा पुत्र की आयु का योग 45 वर्ष है, इसलिए पुत्र की वर्तमान आयु (45 - x) वर्ष होगी।

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12. Q12दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2021

    एक मोटर बोट, जिसकी स्थिर जल में चाल 18 km/h है, 24 km धारा के प्रतिकूल जाने में, वही दूरी धारा के अनुकूल जाने की अपेक्षा 1 घंटा अधिक समय लेती है। धारा की चाल ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. माना धारा की चाल x km/h है; तब धारा के प्रतिकूल चाल (18 − x) km/h तथा अनुकूल चाल (18 + x) km/h है।

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13. Q13लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    द्विघात समीकरण 2x^2 + 5x - 3 = 0 के विवेचक ज्ञात करें और मूलों की प्रकृति भी ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दिए गए द्विघात समीकरण 2x^2 + 5x - 3 = 0 की तुलना ax^2 + bx + c = 0 से करने पर a = 2, b = 5, c = -3 प्राप्त होता है। क्योंकि b^2 - 4ac यह निश्चित करता है कि द्विघात समीकरण ax^2 + bx + c = 0 के मूल वास्तविक हैं अथवा नहीं,…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
14. Q14लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण 2x^2 - 2sqrt(2)x + 1 = 0 के मूल ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दी गई समीकरण 2x^2 - 2sqrt(2)x + 1 = 0 की तुलना ax^2 + bx + c = 0 से करने पर a = 2, b = -2sqrt(2) और c = 1 प्राप्त होता है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
15. Q15लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। इस कथन के लिए समीकरण लिखें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. माना बड़ी संख्या x और छोटी संख्या y है; वर्गों का अंतर 180 है, अतः x² − y² = 180।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
16. Q16लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    द्विघात समीकरण x^2 - x + 3 = 0 के मूलों का योगफल एवं गुणनफल ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दिए गए द्विघात समीकरण x^2 - x + 3 = 0 की तुलना मानक रूप ax^2 + bx + c = 0 से करने पर a = 1, b = -1, c = 3 प्राप्त होते हैं।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
17. Q17लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    द्विघात समीकरण 3y^2 - 2sqrt(6)y + 2 = 0 के विवेचक ज्ञात करें और मूलों की प्रकृति भी ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दिया गया समीकरण 3y^2 - 2sqrt(6)y + 2 = 0 है। इसकी तुलना ay^2 + by + c = 0 से करने पर a = 3, b = -2sqrt(6) तथा c = 2 प्राप्त होता है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
18. Q18लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    द्विघात सूत्र का प्रयोग कर समीकरण 6x^2 + 5x - 6 = 0 के मूल ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. समीकरण 6x^2 + 5x - 6 = 0 की तुलना ax^2 + bx + c = 0 से करने पर a = 6, b = 5, c = -6 प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र (quadratic formula) का उपयोग करने के लिए इन मानों की आवश्यकता होती है।

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19. Q19लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    सूत्र के द्वारा द्विघात समीकरण 2x^2 - 5x + 3 = 0 के मूल ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. द्विघाती सूत्र x = [−b ± √(b² − 4ac)]/2a; 2x² − 5x + 3 = 0 में a = 2, b = −5, c = 3।

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20. Q20लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    k के किन मानों के लिए द्विघात समीकरण x^2 - 4kx + k = 0 के मूल समान हैं ?

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दिए गए द्विघात समीकरण x² - 4kx + k = 0 की तुलना द्विघात समीकरण के व्यापक रूप ax² + bx + c = 0 से करने पर a = 1, b = -4k, c = k प्राप्त होते हैं।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →

इस अध्याय के 23 और प्रश्न, हर एक के आदर्श उत्तर के साथ, AskMedha ऐप में।

ऑब्जेक्टिव प्रश्न — उत्तर-कुंजी सहित (10)

1. 1. बिहार बोर्ड 2026

   द्विघात समीकरण x^2 - 3x - 10 = 0 के मूलों की प्रकृति है

   • (A) वास्तविक और असमान ✓
   • (B) वास्तविक और समान
   • (C) अवास्तविक
   • (D) इनमें से कोई नहीं

   उत्तर: (A)

2. 2. बिहार बोर्ड 2026

   द्विघात समीकरण bx^2 + ax + c = 0 जहाँ b != 0 के विवेचक का मान होता है

   • (A) a^2 - 4bc ✓
   • (B) b^2 - 4ac
   • (C) c^2 - 4ab
   • (D) b^2 + 4ac

   उत्तर: (A)

3. 3. बिहार बोर्ड 2026

   चर x में ax^2 + bx + c = 0 एक द्विघात समीकरण कहलाता है जहाँ a, b एवं c वास्तविक संख्याएँ हैं तो

   • (A) a != 0 ✓
   • (B) b != 0
   • (C) c != 0
   • (D) a = 0

   उत्तर: (A)

4. 4. बिहार बोर्ड 2026

   द्विघात समीकरण 5x^2 - 6x - 2 = 0 का विवेचक है

   • (A) 66
   • (B) 76 ✓
   • (C) 73
   • (D) 72

   उत्तर: (B)

5. 5. बिहार बोर्ड 2026

   द्विघात समीकरण x^2 - 3x + 2 = 0 का विविक्तकर है

   • (A) 17
   • (B) 27
   • (C) 1 ✓
   • (D) 5

   उत्तर: (C)

6. 6. बिहार बोर्ड 2026

   समीकरण cx^2 + ax + b = 0 के मूल वास्तविक नहीं होंगे, यदि

   • (A) c^2 - 4ab < 0
   • (B) b^2 - 4ac < 0
   • (C) a^2 - 4bc < 0 ✓
   • (D) a^2 - 4bc > 0

   उत्तर: (C)

7. 7. बिहार बोर्ड 2026

   समीकरण x^2 - 6x + 4 = 0 के मूलों के योग एवं मूलों के गुणनफल का अनुपात है

   • (A) 1 : 4
   • (B) 2 : 3
   • (C) 3 : 2 ✓
   • (D) 1 : 3

   उत्तर: (C)

8. 8. बिहार बोर्ड 2026

   निम्नलिखित में कौन द्विघात समीकरण है ?

   • (A) (x+3)^2 = x^2 + 7x
   • (B) (x+2)^2 = 2x + 2 ✓
   • (C) (sqrt(x)+2)^2 = x + 2
   • (D) (2x+7)^2 = 4x^2 + 5

   उत्तर: (B)

9. 9. बिहार बोर्ड 2025

   k के किस मान के लिए द्विघात समीकरण kx^2 - 6x + 1 = 0 के मूल वास्तविक एवं समान हैं ?

   • (A) 6
   • (B) 8
   • (C) 9 ✓
   • (D) 10

   उत्तर: (C)

10. 10. बिहार बोर्ड 2025

    यदि द्विघात समीकरण 3x^2 - 5x + 2 = 0 के मूल alpha एवं beta हों तो alpha^2 + beta^2 का मान है

    • (A) 13/9 ✓
    • (B) 9/13
    • (C) 5/3
    • (D) 3/5

    उत्तर: (A)

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बिहार बोर्ड 10वीं गणित में "द्विघात समीकरण" से कितने अंक आते हैं?

2021 से 2026 के बिहार बोर्ड के पेपरों में इस अध्याय से औसतन लगभग 8 अंक और लगभग 11 प्रश्न हर साल पूछे गए; गणित में अंकों के हिसाब से यह 3वाँ अध्याय है।

"द्विघात समीकरण" के VVI प्रश्न कौन से हैं?

ऊपर दिए गए 20 प्रश्न बोर्ड के असली पेपरों से हैं, जिस-जिस साल पूछे गए उस साल के साथ; जो सबसे ज़्यादा बार पूछे गए वे पहले हैं और उनके आदर्श उत्तर पूरे दिए गए हैं। इस अध्याय के कुल 43 लिखित प्रश्न और उनके उत्तर AskMedha ऐप में हैं।

क्या ये उत्तर बोर्ड की marking scheme के अनुसार हैं?

BSEB अपनी marking scheme प्रकाशित नहीं करता। हर उत्तर पिछले पेपरों से निकाली गई अंक-संरचना पर बिंदुवार लिखा गया है और एक दूसरे, स्वतंत्र मॉडल से जाँचा गया है; इसे बोर्ड की आधिकारिक scheme नहीं कहा जाता।