बिहार बोर्ड 10वीं · गणित · मैट्रिक परीक्षा 2027
अध्याय 3: दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म — नोट्स
इस अध्याय के 7 भाग, किताब के क्रम में — हर भाग की पहली बात और वे बिंदु जो मेधा मैम बोर्ड पर लिखती हैं — और अंत में सारांश। पूरा पाठ और हर भाग का जाँच-प्रश्न ऐप में।
1. रैखिक समीकरण युग्म क्या है
देखिए, आपने कक्षा IX में एक समीकरण पढ़ी थी, ax + by + c = 0 के रूप की।
- • व्यापक रूप: ax+by+c = 0 (एक समीकरण)
- • युग्म: a1x+b1y+c1 = 0 और a2x+b2y+c2 = 0
- • उदाहरण: y = 1/2x और 3x+4y = 20
- • जाँच: x = 1,y = 1 में 2x+3y = 5 संतुष्ट, x = 1,y = 7 में नहीं
2. रेखाओं के तीन व्यवहार
देखिए, हर रैखिक समीकरण का ग्राफ एक सरल रेखा होता है।
- • प्रतिच्छेद करती रेखाएँ: अद्वितीय हल (संगत)
- • समांतर रेखाएँ: कोई हल नहीं (असंगत)
- • संपाती रेखाएँ: अनेक हल (आश्रित, संगत)
- • उदाहरण 1: (4,2) पर प्रतिच्छेद
3. गुणांकों के अनुपात से पहचान
देखिए, रेखाओं को खींचे बिना भी हम बता सकते हैं कि वे कैसी होंगी।
- • a1/a2 ≠ b1/b2 → प्रतिच्छेद करती रेखाएँ → अद्वितीय हल
- • a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 → संपाती रेखाएँ → अनेक हल
- • a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 → समांतर रेखाएँ → कोई हल नहीं
4. प्रतिस्थापन विधि
देखिए, ग्राफ से हल निकालना तब मुश्किल हो जाता है, जब हल पूर्णांक न हों।
- • चरण 1: एक समीकरण से एक चर को दूसरे के पदों में लिखो
- • चरण 2: इसे दूसरी समीकरण में रखो
- • चरण 3: एक चर वाली समीकरण हल करो
- • चरण 4: मान वापस रखकर दूसरा चर ज्ञात करो
- • उदाहरण: x+2y = 3 से x = 3−2y
5. विलोपन विधि
देखिए, विलोपन विधि में हम एक चर को हटा देते हैं।
- • चरण 1: उपयुक्त अचर से गुणा कर एक चर के गुणांक समान करो
- • चरण 2: जोड़ो या घटाओ ताकि एक चर विलुप्त हो जाए
- • चरण 3: एक चर वाली समीकरण हल करो
- • चरण 4: मान रखकर दूसरा चर ज्ञात करो
- • सत्य कथन (जैसे 18 = 18) → अनेक हल
- • असत्य कथन (जैसे 0 = 9) → कोई हल नहीं
6. वज्र-गुणन विधि
देखिए, अब एक और तरीका सीखते हैं, इसका नाम है वज्र-गुणन विधि।
- • सूत्र: x/(b1c2−b2c1) = y/(c1a2−c2a1) = 1/(a1b2−a2b1)
- • शर्त: a1b2−a2b1 ≠ 0
- • उदाहरण: 2x+3y−46 = 0, 3x+5y−74 = 0
- • हल: x = 8, y = 10
7. रैखिक रूप में बदले जा सकने वाले समीकरण
देखिए, कुछ समीकरण युग्म सीधे रैखिक नहीं दिखते।
- • 1/x = p, 1/y = q रखो
- • 2p+3q = 13, 5p−4q=-2 (रैखिक रूप)
- • हल: p = 2, q = 3 → x = 1/2, y = 1/3
- • नाव उदाहरण: 1/(x−y) = u, 1/(x+y) = v
सारांश
चलिए, अब इस अध्याय को एक बार साथ समेटते हैं। देखिए, सबसे पहले आपने सीखा कि दो चरों में दो रैखिक समीकरणें साथ लेने पर एक रैखिक समीकरण युग्म बनता है। इसका व्यापक रूप है — a1x + b1y + c1 = 0 और a2x + b2y + c2 = 0। फिर आपने देखा कि इसका ग्राफ दो रेखाएँ होती हैं। ये रेखाएँ या तो प्रतिच्छेद करती हैं, या समांतर होती हैं, या फिर संपाती होती हैं। और इसी से पता चलता है कि युग्म संगत है, असंगत है, या आश्रित है। अच्छा, एक और तरीका भी है — गुणांकों के अनुपात a1/a2, b1/b2, c1/c2 की आपस में तुलना करके, बिना ग्राफ बनाए भी यही पता लगाया जा सकता है। उसके बाद आपने तीन बीजगणितीय विधियाँ सीखीं — प्रतिस्थापन विधि, विलोपन विधि, और वज्र-गुणन विधि। इनसे युग्म का हल सही-सही निकाला जाता है। और अंत में आपने देखा कि कुछ समीकरणें सीधे रैखिक नहीं होतीं। पर उपयुक्त प्रतिस्थापन से उन्हें रैखिक समीकरण युग्म में बदला जा सकता है, और फिर उन्हीं विधियों से हल किया जा सकता है। अच्छा बताइए — इन तीन विधियों में से आपको कौन-सी सबसे आसान लगती है?
Ask Medha · मेधा मैम — बिहार बोर्ड 10वीं गणित, अध्याय 3। पाठ्यपुस्तक से लिखा, दो बार जाँचा।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- "दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म" के नोट्स PDF में कैसे मिलेंगे?
- "PDF में सहेजें" दबाएँ — फ़ोन का प्रिंट पेज खुलेगा; वहाँ "Save as PDF" चुनें। PDF में सिर्फ़ नोट्स रहते हैं।
- ये नोट्स कहाँ से लिखे गए हैं?
- अध्याय की पाठ्यपुस्तक के अपने पाठ से, भाग-भाग करके, किताब के ही शब्दों में; फिर एक दूसरे, स्वतंत्र मॉडल ने हर भाग को किताब से मिलाकर जाँचा है। पूरा पाठ, हर भाग का जाँच-प्रश्न और अभ्यास Ask Medha ऐप में है।
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