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बिहार बोर्ड 10वीं · गणित · मैट्रिक परीक्षा 2027

अध्याय 2: बहुपद

बिहार बोर्ड (BSEB) के 2017–2026 के असली पेपरों से इस अध्याय के 20 सबसे ज़्यादा पूछे गए प्रश्न (VVI) — 3 के आदर्श उत्तर पूरे, 17 के उत्तर की पहली पंक्ति — और ऑब्जेक्टिव प्रश्न बोर्ड की उत्तर-कुंजी के साथ। इस अध्याय के कुल 21 प्रश्न, उत्तर सहित, ऐप में।

अंक हर साल (लगभग)
7
प्रश्न हर साल (लगभग)
12
गणित में स्थान
#8

2021–2026 के 6 साल के पेपरों पर आधारित · पूरा अंक वितरण

अध्याय 2 के नोट्स (PDF) →

VVI प्रश्न — बोर्ड ने जिन्हें सबसे ज़्यादा बार पूछा (20)

  1. Q1लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2020, 2022

    बहुपद 3x^2 - x - 4 के शून्यकों को ज्ञात करें।

    मेधा मैम

    मेधा मैम

    AskMedha की AI शिक्षिका

    आदर्श उत्तर · द्विघात बहुपद के शून्यक

    1. 1.बहुपद 3x^2 - x - 4 के मध्य पद -x का विभाजन (splitting the middle term) करने पर 3x^2 - x - 4 = 3x^2 - 4x + 3x - 4 प्राप्त होता है। अब गुणनखंडन (factorisation) करने पर 3x^2 - 4x + 3x - 4 = x(3x - 4) + 1(3x - 4) = (3x - 4)(x + 1) प्राप्त होता है।1 अंक
    2. 2.गुणनखंड (3x - 4)(x + 1) से शून्यक ज्ञात करने के लिए प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखते हैं: 3x - 4 = 0 से x = 4/3, और x + 1 = 0 से x = -1 प्राप्त होता है। अतः बहुपद 3x^2 - x - 4 के शून्यक 4/3 और -1 हैं।1 अंक
    • मध्य पद को -4x और 3x में तोड़कर (3x - 4)(x + 1) गुणनखंड अवश्य लिखें।
    • प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखकर शून्यक 4/3 और -1 स्पष्ट लिखें।

    अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

  2. Q2लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

    x^3 + 1 को x + 1 से भाग कीजिए।

    मेधा मैम

    मेधा मैम

    AskMedha की AI शिक्षिका

    आदर्श उत्तर · बहुपदों का भाग, भाग विधि

    1. 1.दीर्घ भाग विधि: x^3 + 1 = x^3 + 0x^2 + 0x + 1 को x + 1 से भाग देने पर पहला पद x^3 ÷ x = x^2; x^2(x + 1) = x^3 + x^2 घटाने पर −x^2 + 0x + 1 बचता है। दूसरा पद −x^2 ÷ x = −x; −x(x + 1) = −x^2 − x घटाने पर x + 1 बचता है। तीसरा पद x ÷ x = 1; 1(x + 1) घटाने पर 0 बचता है।1 अंक
    2. 2.अतः भागफल = x^2 − x + 1 तथा शेषफल = 0, अर्थात् x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 − x + 1)।1 अंक

    अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

  3. Q3लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    द्विघात बहुपद 3x^2 - x - 4 का शून्यक ज्ञात करें।

    मेधा मैम

    मेधा मैम

    AskMedha की AI शिक्षिका

    आदर्श उत्तर · द्विघात बहुपद के शून्यक

    1. 1.दिया गया द्विघात बहुपद 3x^2 - x - 4 है। इसका शून्यक ज्ञात करने के लिए मध्य पद का विभाजन (splitting the middle term) करते हैं। मध्य पद -x को इस प्रकार दो पदों में तोड़ते हैं कि दोनों पदों का योग -x हो और गुणनफल 3x^2 × (-4) = -12x^2 हो। ऐसे दो पद -4x और 3x हैं, क्योंकि -4x + 3x = -x तथा (-4x)(3x) = -12x^2। अतः 3x^2 - x - 4 = 3x^2 - 4x + 3x - 4 = 0 प्राप्त होता है।1 अंक
    2. 2.अब प्राप्त व्यंजक 3x^2 - 4x + 3x - 4 = 0 से गुणनखंड ज्ञात करते हैं। x(3x - 4) + 1(3x - 4) = 0 लिखने पर (3x - 4)(x + 1) = 0 प्राप्त होता है। अतः या तो 3x - 4 = 0 या x + 1 = 0 होगा। इससे x = 4/3 तथा x = -1 प्राप्त होते हैं। अतः द्विघात बहुपद 3x^2 - x - 4 के शून्यक x = 4/3 और x = -1 हैं।1 अंक
    • पहले पैराग्राफ में 'मध्य पद का विभाजन' और '3x^2 - 4x + 3x - 4 = 0' अवश्य लिखें।
    • दूसरे पैराग्राफ में गुणनखंड '(3x - 4)(x + 1) = 0' दिखाकर दोनों शून्यक x = 4/3 और x = -1 स्पष्ट लिखें।
    • शून्यक शब्द का प्रयोग उत्तर में अवश्य करें, केवल मान न लिखें।

    अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

  4. Q4लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    यदि x^2 + 2x - 3 को x - 2 से भाग दिया जाए तो शेषफल ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. शेषफल प्रमेय के अनुसार, यदि बहुपद p(x) को (x - 2) से भाग दिया जाता है, तो शेषफल p(2) होगा। यहाँ दिया गया बहुपद p(x) = x^2 + 2x - 3 है तथा भाजक x - 2 है, इसलिए शेषफल p(2) के मान के बराबर होगा।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  5. Q5लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    एक द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिसके शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः - 7 एवं 10 है।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. द्विघात बहुपद ज्ञात करने के लिए सामान्य रूप x² - (शून्यकों का योग)x + (शून्यकों का गुणनफल) का उपयोग किया जाता है। यदि द्विघात बहुपद (quadratic polynomial) ax² + bx + c है और इसके शून्यक α और β हैं, तो α + β = -b/a और αβ…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  6. Q6लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    y^6 + 3y^2 + 10 को y^3 + 1 से भाग दें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. भाज्य y^6 + 3y^2 + 10 है और भाजक y^3 + 1 है। मानक रूप में भाज्य = y^6 + 0y^3 + 3y^2 + 10 लिखते हैं। भाज्य के उच्चतम घात वाले पद y^6 को भाजक के उच्चतम घात वाले पद y^3 से भाग देने पर भागफल का पहला पद y^3 मिलता है। y^3(y^3…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  7. Q7लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    एक द्विघात बहुपद p(x) ज्ञात करें जिनके शून्यकों का योग sqrt(2) और गुणनफल 1/3 है ।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. द्विघात बहुपद का सामान्य रूप, जिसके शून्यकों का योग और गुणनफल दिया हो, p(x) = k[x^2 - (शून्यकों का योग)x + (शून्यकों का गुणनफल)] होता है, जहाँ k एक वास्तविक संख्या है। यहाँ शून्यकों का योग sqrt(2) और शून्यकों का गुणनफल…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  8. Q8लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    एक द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिसके शून्यक sqrt(3)+1 एवं sqrt(3)-1 हैं।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. शून्यकों का योग (sqrt(3)+1) + (sqrt(3)-1) = 2sqrt(3) है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  9. Q9लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    द्विघात बहुपद z^2 - 2z - 8 के शून्यक निकालें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दिए गए द्विघात बहुपद z^2 - 2z - 8 को शून्य के बराबर रखकर गुणनखंड करने पर z^2 - 2z - 8 = z^2 - 4z + 2z - 8 = z(z - 4) + 2(z - 4) = (z - 4)(z + 2) प्राप्त होता है। अतः (z - 4)(z + 2) = 0.

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  10. Q10लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    एक त्रिघाती बहुपद ज्ञात करें जिसके शून्यक 3, - 1 एवं - 2 हैं।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दिया है: त्रिघात बहुपद के शून्यक α = 3, β = -1, γ = -2 हैं। अतः अभीष्ट बहुपद (x - 3)(x + 1)(x + 2) के रूप का होगा। शून्यकों का योगफल (sum of zeros): α + β + γ = 3 + (-1) + (-2) = 0

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  11. Q11लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    यदि alpha, beta बहुपद p(x) = 2x^2 - 11x + 15 के शून्यक हैं तो 1/alpha + 1/beta का मान ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दिया हुआ द्विघात बहुपद p(x) = 2x^2 - 11x + 15 है, जिसकी तुलना ax^2 + bx + c से करने पर a = 2, b = -11, c = 15 प्राप्त होता है। यदि इस बहुपद के शून्यक α और β हों, तो शून्यकों का योग α + β = -b/a = -(-11)/2 = 11/2 होगा।…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  12. Q12लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    यदि बहुपद 3x^2 + 4x + 2k का एक शून्यक - 2 है तो k का मान ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. माना बहुपद p(x) = 3x^2 + 4x + 2k है। प्रश्न के अनुसार -2 इस बहुपद का एक शून्यक है, अतः x = -2 रखने पर p(-2) = 0 प्राप्त होता है। x = -2 को बहुपद में प्रतिस्थापित करने पर 3(-2)^2 + 4(-2) + 2k = 0 प्राप्त होता है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  13. Q13लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2023

    4t^2 - 4t + 1 के शून्यक ज्ञात करें एवं शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध की जाँच करें ।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दिया गया बहुपद 4t^2 - 4t + 1 है। 4t^2 - 4t + 1 = 4t^2 - 2t - 2t + 1 = 2t(2t - 1) - 1(2t - 1) = (2t - 1)(2t - 1) = (2t - 1)^2 शून्यक ज्ञात करने के लिए, 2t - 1 = 0 t = 1/2 अतः 4t^2 - 4t + 1 के गुणनखंड (2t - 1)^2 के रूप…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  14. Q14लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2023

    एक द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 0 और - 4 है ।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. द्विघात बहुपद का सूत्र x² - (शून्यकों का योग)x + (शून्यकों का गुणनफल) होता है। माना द्विघात बहुपद ax² + bx + c है और इसके शून्यक α और β हैं, तो शून्यकों का योग α + β = -b/a और शून्यकों का गुणनफल αβ = c/a होता है। यदि a…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  15. Q15लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2023

    एक द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिसके शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 0 और - 4 है।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. द्विघात बहुपद का व्यापक रूप x^2 - (शून्यकों का योग)x + (शून्यकों का गुणनफल) होता है। यहाँ शून्यकों का योग 0 और शून्यकों का गुणनफल -4 दिया गया है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  16. Q16लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2023

    4t^2 - 4t + 1 के शून्यक ज्ञात करें एवं शून्यकों और गुणांकों के बीच के संबंध की जाँच करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दिया गया बहुपद 4t^2 - 4t + 1 है। इसका गुणनखंड करने पर 4t^2 - 4t + 1 = (2t - 1)^2 प्राप्त होता है। शून्यक ज्ञात करने के लिए (2t - 1)^2 = 0 रखने पर 2t - 1 = 0, अर्थात् t = 1/2 प्राप्त होता है। अतः इस द्विघात बहुपद के…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  17. Q17लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    एक द्विघात बहुपद ज्ञात करें जिसके शून्यकों का जोड़ sqrt(2) एवं शून्यकों का गुणनफल 1/3 है।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. द्विघात बहुपद ज्ञात करने के लिए व्यापक रूप x^2 - (शून्यकों का योग)x + (शून्यकों का गुणनफल) का प्रयोग किया जाता है। माना द्विघात बहुपद ax^2 + bx + c है और इसके शून्यक α और β हैं, तो α + β = -b/a तथा αβ = c/a होता है। यदि…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  18. Q18लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    यदि द्विघात बहुपद 5x^2 - 7x + 1 के शून्यक alpha और beta हों तो (1/alpha + 1/beta) का मान क्या होगा ?

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. द्विघात बहुपद 5x^2 - 7x + 1 की तुलना ax^2 + bx + c से करने पर a = 5, b = -7, c = 1 प्राप्त होता है। इस द्विघात बहुपद के शून्यक α और β हैं। शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध के अनुसार शून्यकों का योग α + β = -b/a =…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  19. Q19लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    द्विघात बहुपद x^2 + 11x + 30 के शून्यकों को ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दिए गए द्विघात बहुपद x^2 + 11x + 30 को शून्य के बराबर रखने पर x^2 + 11x + 30 = 0 प्राप्त होता है। बीच वाले पद 11x को दो भागों 5x तथा 6x में इस प्रकार तोड़ा जाता है कि इनका गुणनफल अचर पद 30 और x^2 के गुणांक के गुणनफल के…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
  20. Q20लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    यदि बहुपद (x^2 - ax + a - 1) का एक गुणनखंड (x - a) है, तो a का मान ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. गुणनखंड प्रमेय के अनुसार, यदि (x - a) बहुपद p(x) = x^2 - ax + a - 1 का एक गुणनखंड है, तो p(a) = 0 होगा।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →

इस अध्याय के 1 और प्रश्न, हर एक के आदर्श उत्तर के साथ, AskMedha ऐप में।

ऑब्जेक्टिव प्रश्न — उत्तर-कुंजी सहित (10)

  1. 1. बिहार बोर्ड 2026

    बहुपद x^2 - 4x + 3 का गुणनखंड है

    • (A) (x - 1)(x + 3)
    • (B) (x + 1)(x - 3)
    • (C) (x - 1)(x - 3) ✓
    • (D) (x + 1)(x + 3)

    उत्तर: (C)

  2. 2. बिहार बोर्ड 2026

    बहुपद x^2 + 7x + 10 के शून्यक हैं

    • (A) - 2, - 5 ✓
    • (B) 2, 5
    • (C) - 2, 5
    • (D) 2, - 5

    उत्तर: (A)

  3. 3. बिहार बोर्ड 2026

    बहुपद 6x^2 - 7x - 3 के शून्यकों का योगफल है

    • (A) -7/6
    • (B) 7/6 ✓
    • (C) -1/2
    • (D) 1/2

    उत्तर: (B)

  4. 4. बिहार बोर्ड 2026

    बहुपद 2x^2 + 3x + 1 के शून्यकों का गुणनफल है

    • (A) -3/2
    • (B) 3/2
    • (C) -1/2
    • (D) 1/2 ✓

    उत्तर: (D)

  5. 5. बिहार बोर्ड 2026

    शून्यकों -3 तथा 2 वाला बहुपद है

    • (A) x^2 - x - 6
    • (B) x^2 + x - 6 ✓
    • (C) x^2 - x + 6
    • (D) x^2 + x + 6

    उत्तर: (B)

  6. 6. बिहार बोर्ड 2026

    बहुपद x^2 - 4 के शून्यक हैं

    • (A) 1, 2
    • (B) 2, 2
    • (C) 2, -2 ✓
    • (D) sqrt(2), -sqrt(2)

    उत्तर: (C)

  7. 7. बिहार बोर्ड 2026

    यदि बहुपद x^2 - kx + 8 के शून्यकों का योग 6 है, तो k का मान है

    • (A) 8
    • (B) 6 ✓
    • (C) -6
    • (D) 3

    उत्तर: (B)

  8. 8. बिहार बोर्ड 2026

    यदि बहुपद 2x^2 + 3x - 4 के शून्यक alpha और beta हों, तो 5(alpha.beta) का मान है

    • (A) 10
    • (B) -10 ✓
    • (C) 15
    • (D) 20

    उत्तर: (B)

  9. 9. बिहार बोर्ड 2026

    बहुपद 4x^2 + 5sqrt(2)x - 3 के शून्यक कौन-से हैं ?

    • (A) -3sqrt(2), sqrt(2)
    • (B) -3sqrt(2)/2, sqrt(2)/4 ✓
    • (C) -3sqrt(2), sqrt(2)/2
    • (D) 3sqrt(2), sqrt(2)

    उत्तर: (B)

  10. 10. बिहार बोर्ड 2026

    किसी द्विघात बहुपद के शून्यक यदि 5 एवं -3 हैं तो द्विघात बहुपद है

    • (A) x^2 - 2x + 15
    • (B) x^2 - 2x - 15 ✓
    • (C) x^2 + 2x + 15
    • (D) x^2 - 15x - 15

    उत्तर: (B)

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बिहार बोर्ड 10वीं गणित में "बहुपद" से कितने अंक आते हैं?
2021 से 2026 के बिहार बोर्ड के पेपरों में इस अध्याय से औसतन लगभग 7 अंक और लगभग 12 प्रश्न हर साल पूछे गए; गणित में अंकों के हिसाब से यह 8वाँ अध्याय है।
"बहुपद" के VVI प्रश्न कौन से हैं?
ऊपर दिए गए 20 प्रश्न बोर्ड के असली पेपरों से हैं, जिस-जिस साल पूछे गए उस साल के साथ; जो सबसे ज़्यादा बार पूछे गए वे पहले हैं और उनके आदर्श उत्तर पूरे दिए गए हैं। इस अध्याय के कुल 21 लिखित प्रश्न और उनके उत्तर AskMedha ऐप में हैं।
क्या ये उत्तर बोर्ड की marking scheme के अनुसार हैं?
BSEB अपनी marking scheme प्रकाशित नहीं करता। हर उत्तर पिछले पेपरों से निकाली गई अंक-संरचना पर बिंदुवार लिखा गया है और एक दूसरे, स्वतंत्र मॉडल से जाँचा गया है; इसे बोर्ड की आधिकारिक scheme नहीं कहा जाता।

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