बिहार बोर्ड 10वीं · गणित · मैट्रिक परीक्षा 2027
अध्याय 15: प्रायिकता — नोट्स
इस अध्याय के 6 भाग, किताब के क्रम में — हर भाग की पहली बात और वे बिंदु जो मेधा मैम बोर्ड पर लिखती हैं — और अंत में सारांश। पूरा पाठ और हर भाग का जाँच-प्रश्न ऐप में।
1. प्रायोगिक प्रायिकता से सैद्धांतिक प्रायिकता तक
देखिए, पिछली कक्षा में आपने प्रायोगिक प्रायिकता पढ़ी थी।
- • आनुभविक प्रायिकता P(E) = अभिप्रयोगों की संख्या जिनमें घटना घटित हुई / अभिप्रयोगों की कुल संख्या
- • सिक्का 1000 बार: चित 455, पट 545
- • P(चित) = 455/1000 = 0.455
- • बुफॉन: 4040 बार, 2048 चित, P = 0.507
- • कैरिच: 10000 बार, 5067 चित, P = 0.5067
- • पियर्सन: 24000 बार, 12012 चित, P = 0.5005
2. सैद्धांतिक प्रायिकता और समप्रायिक परिणाम
देखिए, जब हम सिक्का उछालते हैं, तो हम मानते हैं कि वह निष्पक्ष है।
- • सैद्धांतिक प्रायिकता P(E) = E के अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी संभव परिणामों की संख्या
- • सिक्का: परिणाम चित, पट — समप्रायिक
- • पासा: परिणाम 1,2,3,4,5,6 — समप्रायिक
- • थैला (4 लाल, 1 नीली): लाल, नीला समप्रायिक नहीं
- • P(चित) = 1/2, P(पट) = 1/2
3. प्रारंभिक घटना और प्रायिकताओं का योग 1
देखिए, जिस घटना का केवल एक ही परिणाम होता है, उसे प्रारंभिक घटना कहते हैं।
- • प्रारंभिक घटना: केवल एक परिणाम वाली घटना
- • सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग = 1
- • पासा: P(4 से बड़ी) = 2/6 = 1/3
- • पासा: P(4 से छोटी या बराबर) = 4/6 = 2/3
- • P(E) + P(E̅) = 1, अतः P(E̅) = 1 − P(E)
4. असंभव घटना, निश्चित घटना और प्रायिकता की सीमा
देखिए, एक पासा है।
- • P(8 प्राप्त करना) = 0/6 = 0 — असंभव घटना
- • P(7 से छोटी संख्या) = 6/6 = 1 — निश्चित घटना
- • असंभव घटना की प्रायिकता = 0
- • निश्चित घटना की प्रायिकता = 1
- • नियम: 0 ≤ P(E) ≤ 1
5. ताश के पत्तों और थैले से उदाहरण
देखिए बोर्ड पर।
- • ताश: कुल 52 पत्ते, 4 समूह (हुकुम, पान, ईंट, चिड़ी), हर समूह में 13 पत्ते
- • चिड़ी, हुकुम = काले; पान, ईंट = लाल
- • फेस कार्ड = बादशाह, बेगम, गुलाम
- • बक्सा: 3 नीले + 2 सफेद + 4 लाल = कुल 9 कंचे
- • P(सफेद) = 2/9, P(नीला) = 3/9 = 1/3, P(लाल) = 4/9
6. दो सिक्के और दो पासे फेंकने की प्रायिकता
देखिए, अब बात करते हैं दो सिक्कों की।
- • दो सिक्के: परिणाम (H,H),(H,T),(T,H),(T,T) — कुल 4
- • P(कम से कम एक चित) = 3/4
- • दो पासे: कुल परिणाम = 6×6 = 36
- • योग 8 के अनुकूल परिणाम = 5, P = 5/36
- • योग 13: असंभव, P = 0 | योग ≤12: निश्चित, P = 1
सारांश
देखिए, अब इस पूरे अध्याय को एक बार साथ दोहरा लेते हैं। सबसे पहले आपने प्रायोगिक प्रायिकता और सैद्धांतिक प्रायिकता में अंतर समझा था। याद है, जैसे-जैसे प्रयोग बार-बार दोहराया जाता है, प्रायोगिक प्रायिकता सैद्धांतिक प्रायिकता के पास आती जाती है। फिर आपने सीखा कि समप्रायिक परिणामों की कल्पना से किसी घटना E की सैद्धांतिक प्रायिकता निकाली जाती है — P(E) = E के अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी संभव परिणामों की संख्या। उसके बाद आपने प्रारंभिक घटना और पूरक घटना E̅ के बारे में पढ़ा। इसमें P(E) + P(E̅) = 1 होता है। और सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग भी हमेशा 1 ही होता है। फिर आपने देखा कि असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है, और निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है। इसलिए हर घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच ही रहती है। अंत में आपने ताश के पत्तों, कंचों, सिक्कों और पासों के उदाहरणों से इस परिभाषा को लगाना सीखा। अच्छा बताइए — इनमें से कौन सा हिस्सा आपको सबसे आसान लगा?
Ask Medha · मेधा मैम — बिहार बोर्ड 10वीं गणित, अध्याय 15। पाठ्यपुस्तक से लिखा, दो बार जाँचा।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- "प्रायिकता" के नोट्स PDF में कैसे मिलेंगे?
- "PDF में सहेजें" दबाएँ — फ़ोन का प्रिंट पेज खुलेगा; वहाँ "Save as PDF" चुनें। PDF में सिर्फ़ नोट्स रहते हैं।
- ये नोट्स कहाँ से लिखे गए हैं?
- अध्याय की पाठ्यपुस्तक के अपने पाठ से, भाग-भाग करके, किताब के ही शब्दों में; फिर एक दूसरे, स्वतंत्र मॉडल ने हर भाग को किताब से मिलाकर जाँचा है। पूरा पाठ, हर भाग का जाँच-प्रश्न और अभ्यास Ask Medha ऐप में है।
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