अध्याय 13: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

VVI प्रश्न — बोर्ड ने जिन्हें सबसे ज़्यादा बार पूछा (20)

1. Q1दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2025

   एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 सेमी है तथा इसके वृत्तीय सिरों के परिमाप (परिधियाँ) 18 सेमी और 6 सेमी हैं। इस छिन्नक का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

   

   मेधा मैम

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   आदर्श उत्तर · वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल, शंकु का छिन्नक

   1. 1.प्रश्न में शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई l = 4 सेमी दी गई है तथा इसके वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ r1 और r2 हैं, जिनके परिमाप। शंकु के छिन्नक की ऊँचाई h, तिर्यक ऊँचाई l तथा दोनों वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ r1 और r2 होती हैं। किसी वृत्त की परिधि 2πr के बराबर होती है।1 अंक
   2. 2.छिन्नक के वृत्तीय सिरों की परिधियाँ क्रमशः 18 सेमी और 6 सेमी दी गई हैं। अतः 2πr1 = 18 सेमी और 2πr2 = 6 सेमी, जहाँ r1 और r2 दोनों वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ हैं।1 अंक
   3. 3.दोनों त्रिज्याओं का योग ज्ञात करने के लिए दोनों समीकरणों को जोड़ने पर 2πr1 + 2πr2 = 18 + 6 = 24 सेमी प्राप्त होता है, अर्थात् 2π(r1 + r2) = 24 सेमी। इससे r1 + r2 = 24 / (2π) = 12 / π सेमी प्राप्त होता है।1 अंक
   4. 4.शंकु के छिन्नक का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = π(r1 + r2) l होता है, जहाँ l छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई तथा r1 और r2 छिन्नक के दोनों वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ हैं।1 अंक
   5. 5.दिया गया l = 4 सेमी r1 + r2 = 12 / π सेमी सूत्र वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = π(r1 + r2) l प्रतिस्थापन वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = π * (12 / π) * 4 गणना वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = 12 * 4 = 48 उत्तर छिन्नक का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = 48 वर्ग सेमी1 अंक

   • r1 + r2 = 12/π सेमी निकालने का चरण अलग से अवश्य लिखें, सीधे क्षेत्रफल में मत कूदें।
   • सूत्र π(r1 + r2)l को शब्दों में लिखकर फिर मान रखें ताकि प्रतिस्थापन स्पष्ट दिखे।
   • अंतिम उत्तर 48 वर्ग सेमी के साथ इकाई अवश्य लिखें।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

2. Q2दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2022

   एक शंकु 24 सेमी ऊँचा है तथा उसके आधार की त्रिज्या 6 सेमी है। इसे पिघलाकर एक गोले के रूप में ढाला गया है। गोले की त्रिज्या निकालें।

   

   मेधा मैम

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   आदर्श उत्तर · आयतन, शंकु को गोले में ढालना

   1. 1.शंकु का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र 1/3 * π * r² * h का उपयोग किया जाता है, जहाँ r शंकु के आधार की त्रिज्या है और h शंकु की ऊँचाई है। यहाँ शंकु की ... दी गई हैं। इस सूत्र में इन मानों को प्रतिस्थापित करके शंकु का आयतन ज्ञात किया जाता है।1 अंक
   2. 2.शंकु का आयतन = 1/3 * π * 6 * 6 * 24 cm³ होता है। इसको हल करने पर शंकु का आयतन = 288π घन सेमी प्राप्त होता है।1 अंक
   3. 3.गोले का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र 4/3 * π * R³ का उपयोग किया जाता है, जहाँ R गोले की त्रिज्या है। यदि गोले की त्रिज्या R है तो उसका आयतन 4/3 * π * R³ है।1 अंक
   4. 4.चूँकि शंकु के रूप में और गोले के रूप में पदार्थ के आयतन बराबर हैं, इसलिए दोनों आयतनों को बराबर करके समीकरण 4/3 * π * R³ = 288π घन सेमी बनाया जाता है।1 अंक
   5. 5.इस समीकरण को हल करने पर R³ = 288 * 3/4 = 216, अर्थात् R³ = 6³ प्राप्त होता है, जिससे R = 6 सेमी प्राप्त होता है। इसलिए गोले की त्रिज्या 6 cm है।1 अंक

   • शंकु और गोले दोनों के आयतन के सूत्र अवश्य लिखें।
   • दोनों आयतनों को बराबर करते हुए समीकरण 4/3 * π * R³ = 288π स्पष्ट रूप से लिखें।
   • अंतिम उत्तर में त्रिज्या R = 6 cm इकाई सहित अवश्य लिखें।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

3. Q3दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2022

   लकड़ी के एक ठोस बेलन के प्रत्येक सिरे पर एक अर्धगोला खोदकर एक वस्तु बनाया जाता है। यदि बेलन की ऊँचाई 10 सेमी और बेलन के आधार की त्रिज्या 3.5 सेमी हो तो बचे हुए ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करें।

   

   मेधा मैम

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   आदर्श उत्तर · पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन, ठोसों का संयोजन

   1. 1.बचे हुए ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल = बेलन का वक्र पृष्ठ + दोनों अर्धगोलों का वक्र पृष्ठ = 2πrh + 2 × 2πr² (r = 3.5 सेमी, h = 10 सेमी)।1 अंक
   2. 2.बेलन का वक्र पृष्ठ = 2 × 22/7 × 3.5 × 10 = 220 सेमी²; दोनों अर्धगोलों का वक्र पृष्ठ = 4 × 22/7 × 3.5 × 3.5 = 154 सेमी²।1 अंक
   3. 3.अतः पृष्ठीय क्षेत्रफल = 220 + 154 = 374 सेमी²।1 अंक
   4. 4.आयतन = πr²h − 2 × (2/3)πr³; बेलन का आयतन = 22/7 × 3.5 × 3.5 × 10 = 385 सेमी³, दोनों अर्धगोलों का आयतन = 4/3 × 22/7 × (3.5)³ ≈ 179.67 सेमी³।1 अंक
   5. 5.अतः बचे हुए ठोस का आयतन = 385 − 179.67 ≈ 205.33 सेमी³ (616/3 सेमी³)।1 अंक

   चित्र: बेलन खींचें जिसके दोनों सिरों पर एक-एक अर्धगोला खोदा गया दिखाएँ; बेलन की ऊँचाई h = 10 cm और त्रिज्या r = 3.5 cm अंकित करें।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

4. Q4दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2022

   22 सेमी किनारे वाले एक ठोस घन को पिघलाकर एक 7 सेमी लम्बा वृत्ताकार बेलन बनाया जाता है। बेलन की त्रिज्या ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. घन का आयतन उसकी भुजा का घन होता है, अर्थात् (भुजा)³। यहाँ घन की भुजा 22 सेमी है, इसलिए घन का आयतन 22 × 22 × 22 घन सेमी है।

   पूरा उत्तर मेधा मैम से →
5. Q5दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2023

   व्यास 3 मी का एक कुआँ 14 मी की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4 मी चौड़ी एक वृत्ताकार वलय बनाते हुए समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. कुएँ का व्यास 3 मी दिया है, इसलिए कुएँ की त्रिज्या r = 3/2 मी = 1.5 मी है। कुएँ की गहराई h = 14 मी दी गई है।

   पूरा उत्तर मेधा मैम से →
6. Q6दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2023

   व्यास 3 मी का एक कुआँ 14 मी की गहराई तक खोदा जाता है। इसमें निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4 मी चौड़ी एक वृत्ताकार वलय बनाते हुए समान रूप में फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. कुएँ का व्यास 3 मीटर दिया गया है, इसलिए कुएँ की त्रिज्या r = 3/2 = 1.5 मीटर है। कुएँ की गहराई h = 14 मीटर दी गई है।

   पूरा उत्तर मेधा मैम से →
7. Q7दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2021

   एक खिलौना 3.5 cm त्रिज्या वाले शंकु के आकार का है, जो इसी त्रिज्या वाले गोलार्द्ध के ऊपर है। खिलौने की कुल ऊँचाई 15.5 cm है। खिलौने का आयतन ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. शंकु की ऊँचाई ज्ञात करने के लिए खिलौने की कुल ऊँचाई से अर्धगोले की त्रिज्या घटाई जाती है, क्योंकि अर्धगोले की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर होती है। यहाँ त्रिज्या r = 3.5 cm है तथा कुल ऊँचाई 15.5 cm है। अतः शंकु की ऊँचाई…

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8. Q8लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

   किसी घन का विकर्ण 9sqrt(3) सेमी है। घन का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. घन के विकर्ण का सूत्र √3 × भुजा होता है, अर्थात यदि घन की भुजा a हो तो विकर्ण = a√3 होता है।

   पूरा उत्तर मेधा मैम से →
9. Q9लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

   यदि किसी शंकु के आधार की त्रिज्या 7 सेमी एवं इसकी ऊँचाई 24 सेमी है तो इसके वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. दिया है, शंकु के आधार की त्रिज्या r = 7 सेमी तथा ऊँचाई h = 24 सेमी है। शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²) = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25 सेमी है।

   पूरा उत्तर मेधा मैम से →
10. Q10लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    एक धात्विक घनाभ जिसकी लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई क्रमशः 100 सेमी, 80 सेमी तथा 64 सेमी हैं, को पिघलाकर एक घन बनाया जाता है तो घन के कोर की लम्बाई ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. घनाभ का आयतन = लम्बाई × चौड़ाई × ऊँचाई घनाभ का आयतन = 100 × 80 × 64 घनाभ का आयतन = 512000 घन सेमी जब घनाभ को पिघलाकर घन बनाया जाता है तो घनाभ का आयतन घन के आयतन के बराबर रहता है, अतः घन का आयतन भी 512000 घन सेमी होगा।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
11. Q11लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    एक शंकु के छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई 4 सेमी है तथा उसके वृत्तीय सिरों के परिमाप क्रमशः 15 सेमी और 6 सेमी हैं। छिन्नक के वक्र पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र π(r₁ + r₂)l का उपयोग किया जाता है, जहाँ r₁ और r₂ छिन्नक के वृत्तीय सिरों की त्रिज्याएँ हैं तथा l छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई है। यहाँ l = 4 cm दी गई है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
12. Q12लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

    एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 100pi सेमी^3 और ऊँचाई 12 सेमी है तो लम्बवृत्तीय शंकु की त्रिज्या ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. शंकु का आयतन ज्ञात करने के लिए सूत्र V = 1/3 * pi * r^2 * h का प्रयोग किया जाता है, जहाँ r शंकु के आधार की त्रिज्या है और h शंकु की ऊँचाई है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
13. Q13लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    एक 14 सेमी लंबे लंब वृत्ताकार बेलन का आयतन 11 सेमी के किनारे पर बनाए गए घन के आयतन के बराबर है। बेलन की त्रिज्या निकालें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. बेलन का आयतन πr²h होता है, जहाँ r त्रिज्या और h ऊँचाई है, तथा घन का आयतन a³ होता है, जहाँ a घन की एक भुजा है। प्रश्न में बेलन का आयतन घन के आयतन के बराबर दिया है, अतः πr²h = a³।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
14. Q14लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    8 सेमी त्रिज्या वाले एक ठोस गोले से 1 सेमी त्रिज्या वाली कितनी ठोस गोलियाँ बनाई जा सकती है ?

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. 8 सेमी त्रिज्या वाले बड़े ठोस गोले का आयतन = 4/3 * π * (8)^3 = 4/3 * π * 512 घन सेमी होता है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
15. Q15लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    3.5 सेमी त्रिज्या वाले अर्द्धगोले का वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. अर्द्धगोले के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र 2πr² का प्रयोग किया जाता है, जहाँ r अर्द्धगोले की त्रिज्या है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
16. Q16लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    8 सेमी भुजा वाले दो घन बराबर से जोड़ दिए गए हैं। परिणामी घनाभ का कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. जब 8 सेमी भुजा वाले दो घनों को बराबर से जोड़ दिया जाता है, तो प्राप्त ठोस एक घनाभ (cuboid) बन जाता है। इस घनाभ की लंबाई दो घनों की भुजाओं के योग के बराबर होती है, अर्थात् लंबाई = 8 + 8 = 16 सेमी, जबकि चौड़ाई और ऊँचाई एक…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
17. Q17लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2023

    एक गोला जिसकी त्रिज्या 7 सेमी है, का आयतन ज्ञात करें ।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. गोले के आयतन का सूत्र V = 4/3 πr³ है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
18. Q18लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2023

    एक गोला जिसकी त्रिज्या 7 सेमी है, का आयतन ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. गोले के आयतन का सूत्र V = 4/3 πr³ है, जहाँ r गोले की त्रिज्या है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
19. Q19लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    किसी बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल 1760 cm^2 एवं इसके आधार की त्रिज्या 14 cm है तो बेलन की ऊँचाई क्या होगी ?

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. बेलन के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र 2πrh है, जहाँ r बेलन के आधार की त्रिज्या है और h बेलन की ऊँचाई है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
20. Q20लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    किसी शंकु के आधार की त्रिज्या 7 cm है एवं इसकी ऊँचाई 14 cm है तो इसके वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल क्या होगा ?

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. शंकु के वक्रपृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र πrl का उपयोग किया जाता है, जहाँ r शंकु के आधार की त्रिज्या है और l इसकी तिर्यक ऊँचाई है।

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →

इस अध्याय के 2 और प्रश्न, हर एक के आदर्श उत्तर के साथ, AskMedha ऐप में।

ऑब्जेक्टिव प्रश्न — उत्तर-कुंजी सहित (10)

1. 1. बिहार बोर्ड 2026

   6 सेमी किनारे वाले तीन घनों को घनाभ बनाने हेतु प्रारंभ से अंत तक जोड़ा जाता है। परिणामी घनाभ का आयतन है

   • (A) 648 सेमी^3 ✓
   • (B) 216 सेमी^3
   • (C) 432 सेमी^3
   • (D) 864 सेमी^3

   उत्तर: (A)

2. 2. बिहार बोर्ड 2026

   यदि घन का सम्पूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल 864 वर्ग सेमी हो तो इसका आयतन है

   • (A) 1728 घन सेमी ✓
   • (B) 3456 घन सेमी
   • (C) 864 घन सेमी
   • (D) 432 घन सेमी

   उत्तर: (A)

3. 3. बिहार बोर्ड 2026

   यदि दो गोलों का पृष्ठ क्षेत्रफल 16 : 9 के अनुपात में हो तो उनके आयतन का अनुपात है

   • (A) 27 : 64
   • (B) 64 : 27 ✓
   • (C) 4 : 3
   • (D) 3 : 4

   उत्तर: (B)

4. 4. बिहार बोर्ड 2026

   यदि घनाभ के तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल क्रमशः x, y एवं z हों तो घनाभ का आयतन है

   • (A) xyz
   • (B) sqrt(xyz) ✓
   • (C) x^2y^2z^2
   • (D) x^3y^3z^3

   उत्तर: (B)

5. 5. बिहार बोर्ड 2026

   एक बेलन की ऊँचाई 14 सेमी है तथा इसका वक्रपृष्ठ क्षेत्रफल 264 वर्ग सेमी है तो इसका आयतन है

   • (A) 1848 सेमी^3
   • (B) 1232 सेमी^3
   • (C) 396 सेमी^3 ✓
   • (D) 308 सेमी^3

   उत्तर: (C)

6. 6. बिहार बोर्ड 2026

   किसी कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल जिसकी लम्बाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई क्रमशः l, b तथा h इकाई हैं, है

   • (A) (l + b) h वर्ग इकाई
   • (B) lbh वर्ग इकाई
   • (C) 2(l + b)h वर्ग इकाई ✓
   • (D) 4(l + b)h वर्ग इकाई

   उत्तर: (C)

7. 7. बिहार बोर्ड 2026

   R त्रिज्या वाले गोले का आयतन है

   • (A) 1/3 pi R^3
   • (B) 4 pi R^3
   • (C) 4/3 pi R^3 ✓
   • (D) pi R^3

   उत्तर: (C)

8. 8. बिहार बोर्ड 2026

   यदि किसी घन का एक विकर्ण की लम्बाई 5 sqrt(3) सेमी है, तो इसका पृष्ठ क्षेत्रफल है

   • (A) 120 सेमी^2
   • (B) 140 सेमी^2
   • (C) 150 सेमी^2 ✓
   • (D) 250 सेमी^2

   उत्तर: (C)

9. 9. बिहार बोर्ड 2026

   किसी गोले के कुल पृष्ठ क्षेत्रफल और उसी त्रिज्या के एक अर्द्धगोले के कुल पृष्ठ क्षेत्रफल का अनुपात क्या है ?

   • (A) 4 : 9
   • (B) 4 : 3 ✓
   • (C) 3 : 4
   • (D) 3 : 2

   उत्तर: (B)

10. 10. बिहार बोर्ड 2026

    दो बेलनों की त्रिज्याओं का अनुपात 3 : 7 है एवं उनकी ऊँचाइयों का अनुपात 7 : 12 हों तो उनके वक्र पृष्ठ क्षेत्रफलों का अनुपात है

    • (A) 1 : 16
    • (B) 7 : 12
    • (C) 1 : 4 ✓
    • (D) 4 : 1

    उत्तर: (C)

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बिहार बोर्ड 10वीं गणित में "पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन" से कितने अंक आते हैं?

2021 से 2026 के बिहार बोर्ड के पेपरों में इस अध्याय से औसतन लगभग 7 अंक और लगभग 9 प्रश्न हर साल पूछे गए; गणित में अंकों के हिसाब से यह 7वाँ अध्याय है।

"पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन" के VVI प्रश्न कौन से हैं?

ऊपर दिए गए 20 प्रश्न बोर्ड के असली पेपरों से हैं, जिस-जिस साल पूछे गए उस साल के साथ; जो सबसे ज़्यादा बार पूछे गए वे पहले हैं और उनके आदर्श उत्तर पूरे दिए गए हैं। इस अध्याय के कुल 22 लिखित प्रश्न और उनके उत्तर AskMedha ऐप में हैं।

क्या ये उत्तर बोर्ड की marking scheme के अनुसार हैं?

BSEB अपनी marking scheme प्रकाशित नहीं करता। हर उत्तर पिछले पेपरों से निकाली गई अंक-संरचना पर बिंदुवार लिखा गया है और एक दूसरे, स्वतंत्र मॉडल से जाँचा गया है; इसे बोर्ड की आधिकारिक scheme नहीं कहा जाता।