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बिहार बोर्ड 10वीं · गणित · मैट्रिक परीक्षा 2027

अध्याय 12: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल — नोट्स

इस अध्याय के 5 भाग, किताब के क्रम में — हर भाग की पहली बात और वे बिंदु जो मेधा मैम बोर्ड पर लिखती हैं — और अंत में सारांश। पूरा पाठ और हर भाग का जाँच-प्रश्न ऐप में।

इस अध्याय के VVI प्रश्न →

  1. 1. वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल - एक समीक्षा

    देखिए, पिछली कक्षाओं में आपने पढ़ा था कि वृत्त के चारों ओर एक चक्कर में जो दूरी तय होती है, उसे परिधि कहते हैं।

    • • परिधि = 2πr
    • • क्षेत्रफल = πr²
    • • π ≈ 22/7 या 3.14 (अपरिमेय संख्या)
    • • उदाहरण: बाड़ की लंबाई = 5280/24 = 220 m
    • • 2πr = 220 ⇒ r = 35 m
    • • क्षेत्रफल = 22/7×35×35 m²; जुताई व्यय = ₹1925

  2. 2. त्रिज्यखंड और वृत्तखंड की पहचान

    देखिए, वृत्त में दो हिस्से होते हैं जिनके नाम आपको याद रखने हैं।

    • • त्रिज्यखंड = दो त्रिज्याओं + चाप से घिरा भाग
    • • वृत्तखंड = जीवा + चाप के बीच का भाग
    • • लघु त्रिज्यखंड OAPB, दीर्घ त्रिज्यखंड OAQB
    • • दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण = 360° - ∠AOB
    • • लघु वृत्तखंड APB, दीर्घ वृत्तखंड AQB

  3. 3. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई

    देखिए, पूरे वृत्त का कोण केंद्र पर कितना होता है?

    • • त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²
    • • चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr
    • • उदाहरण: r = 4cm, θ = 30°, π = 3.14
    • • त्रिज्यखंड = (30/360)×3.14×16 = 4.19 cm²
    • • दीर्घ त्रिज्यखंड = πr² − 4.19 = 46.1 cm² (लगभग)

  4. 4. वृत्तखंड का क्षेत्रफल

    देखिए, वृत्तखंड का क्षेत्रफल निकालना बहुत आसान है।

    • • वृत्तखंड = त्रिज्यखंड - त्रिभुज (क्षेत्रफल)
    • • दीर्घ वृत्तखंड = πr² - लघु वृत्तखंड
    • • उदाहरण: r = 21cm, ∠AOB = 120°
    • • त्रिज्यखंड OAYB = (120/360)×22/7×21×21 = 462 cm²
    • • ΔOAB = 1/2 × 21√3 × 21/2 = 441/4 × √3 cm²
    • • वृत्तखंड AYB = (462 − 441/4×√3) cm²

  5. 5. समतल आकृतियों के संयोजनों के क्षेत्रफल

    देखिए, रोज़ की ज़िंदगी में भी ऐसी डिज़ाइन दिखती हैं — फूलों की क्यारी, नाली का ढक्कन, खिड़की की जाली, मेज़पोश।

    • • संयोजन = आकृतियों के क्षेत्रफल जोड़ना/घटाना
    • • उदाहरण: वर्ग भुजा 14 cm, 4 वृत्त, त्रिज्या 7/2 cm
    • • एक वृत्त = 22/7×7/2×7/2 = 77/2 cm²
    • • चार वृत्त = 4×77/2 = 154 cm²
    • • छायांकित क्षेत्र = 196 − 154 = 42 cm²
    • • दूसरा उदाहरण: भुजा 10 cm वर्ग, डिज़ाइन = 100 − 43 = 57 cm²

सारांश

चलिए, अब इस पूरे अध्याय को एक बार साथ दोहरा लेते हैं। सबसे पहले आपने वृत्त की परिधि, 2πr, और क्षेत्रफल, πr², को फिर से याद किया। साथ में आपने यह भी जाना कि π का सन्निकट मान आर्यभट्ट ने दिया था। उसके बाद आपने त्रिज्यखंड और वृत्तखंड को पहचानना सीखा। आपने यह भी समझा कि इनमें लघु भाग और दीर्घ भाग कैसे बनते हैं। फिर आपने त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का फ़ॉर्मूला निकाला — (θ/360)×πr²। इसी के साथ संगत चाप की लंबाई का फ़ॉर्मूला भी आया — (θ/360)×2πr। उसके बाद आपने वृत्तखंड का क्षेत्रफल निकालना सीखा — त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाकर। और अंत में आपने समतल आकृतियों के संयोजनों का क्षेत्रफल निकाला, जैसे वर्ग में बने वृत्तों और अर्धवृत्तों के डिज़ाइन। देखिए, इतना सब आपने खुद समझा है। अच्छा बताइए — इनमें से कौन सा हिस्सा आपको सबसे आसान लगा?

AskMedha · मेधा मैम — बिहार बोर्ड 10वीं गणित, अध्याय 12। पाठ्यपुस्तक से लिखा, दो बार जाँचा।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

"वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल" के नोट्स PDF में कैसे मिलेंगे?
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ये नोट्स कहाँ से लिखे गए हैं?
अध्याय की पाठ्यपुस्तक के अपने पाठ से, भाग-भाग करके, किताब के ही शब्दों में; फिर एक दूसरे, स्वतंत्र मॉडल ने हर भाग को किताब से मिलाकर जाँचा है। पूरा पाठ, हर भाग का जाँच-प्रश्न और अभ्यास AskMedha ऐप में है।

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