अध्याय 12: वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

VVI प्रश्न — बोर्ड ने जिन्हें सबसे ज़्यादा बार पूछा (16)

1. Q1लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2017, 2022, 2023

   एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी परिधि 22 सेमी है ।

   

   मेधा मैम

   AskMedha की AI शिक्षिका

   मेधा मैम से सुनें · 60 सेकंड

   आदर्श उत्तर · वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल

   1. 1.वृत्त की परिधि 2πr = 22 cm दी गई है। इससे 2 × 22/7 × r = 22, अर्थात r = 22 × 7/(2 × 22) = 3.5 cm प्राप्त होता है। अतः वृत्त की त्रिज्या r = 3.5 cm है।1 अंक
   2. 2.वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल = (1/4) πr² सूत्र से ज्ञात किया जाता है। यहाँ r = 3.5 cm रखने पर, क्षेत्रफल = (1/4) × 22/7 × 3.5 × 3.5 cm² = 9.625 cm² प्राप्त होता है। अतः वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल 9.625 वर्ग सेमी है।1 अंक

   • पहले परिधि के सूत्र 2πr = 22 से त्रिज्या r = 3.5 सेमी निकालना न भूलें।
   • चतुर्थांश के क्षेत्रफल का सूत्र (1/4)πr² लिखकर मान रखें और अंतिम उत्तर 9.625 वर्ग सेमी इकाई सहित लिखें।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

2. Q2लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022, 2026

   यदि वृत्त की त्रिज्या 21 सेमी तथा त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण 120 डिग्री है तो त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

   

   मेधा मैम

   AskMedha की AI शिक्षिका

   मेधा मैम से सुनें · 60 सेकंड

   आदर्श उत्तर · त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल

   1. 1.त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ / 360) × πr^2 का प्रयोग करते हैं, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है और θ त्रिज्यखंड का अंशों में कोण है।1 अंक
   2. 2.दिया है: त्रिज्या r = 21 cm, कोण θ = 120° सूत्र: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ / 360) × πr^2 प्रतिस्थापित करने पर: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (120/360) × (22/7) × 21 × 21 cm^2 गणना करने पर: त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = 462 cm^2 अतः त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी है।1 अंक

   • सूत्र (θ / 360) × πr^2 लिखना अवश्य याद रखें, तभी पहला बिंदु पूरा होगा।
   • प्रत्येक चरण अलग पंक्ति में लिखें: दिया हुआ, सूत्र, प्रतिस्थापन, गणना और अंत में उत्तर इकाई (वर्ग सेमी) के साथ।
   • अंतिम उत्तर 462 वर्ग सेमी स्पष्ट रूप से अलग पंक्ति में लिखें।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

3. Q3दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2025

   दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 19 सेमी और 9 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर हो।

   

   मेधा मैम

   AskMedha की AI शिक्षिका

   मेधा मैम से सुनें · 70 सेकंड

   आदर्श उत्तर · वृत्त की परिधि, दो वृत्तों का योग

   1. 1.पहले वृत्त की त्रिज्या r1 = 19 cm है। पहले वृत्त की परिधि = 2πr1 = 2π(19) = 38π सेमी है।1 अंक
   2. 2.दूसरे वृत्त की त्रिज्या r2 = 9 cm है। दूसरे वृत्त की परिधि = 2πr2 = 2π(9) = 18π सेमी है।1 अंक
   3. 3.माना नए वृत्त की त्रिज्या R है। प्रश्न के अनुसार नए वृत्त की परिधि दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है, अतः नए वृत्त की परिधि 2πR = 38π + 18π = 56π सेमी है।1.5 अंक
   4. 4.2πR = 56π के समीकरण से दोनों पक्षों को 2π से भाग देने पर R = 56π / 2π प्राप्त होता है।1 अंक
   5. 5.इस प्रकार नए वृत्त की त्रिज्या R = 28 सेमी है।0.5 अंक

   • हर वृत्त की परिधि के लिए 2πr का प्रयोग करते हुए r1 और r2 दोनों लिखें।
   • परिधियों के योग को 56π के रूप में लिखकर दिखाएँ कि यह नए वृत्त की परिधि 2πR के बराबर है।
   • अंतिम उत्तर में त्रिज्या R = 28 सेमी के साथ इकाई अवश्य लिखें।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

4. Q4दीर्घ उत्तरीय5 अंकपूछा गया: 2026

   6 सेमी त्रिज्या वाली एक वृत्ताकार चकती को तीन त्रिज्यखंडों में विभक्त किया गया है जिनके केन्द्रीय कोण 90°, 120° तथा 150° हैं तो 150° केन्द्रीय कोण वाला त्रिज्यखंड, सम्पूर्ण चकती का कौन-सा भाग है ? तीनों त्रिज्यखंडों के क्षेत्रफलों को भी निकालें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. 150° केन्द्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड का सम्पूर्ण चकती का भाग ज्ञात करने के लिए त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र πr²(θ/360°) है, जिसमें पूर्ण वृत्त 360° के कोण पर बनता है। इसलिए 150° केन्द्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड का…

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5. Q5लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

   एक घड़ी की मिनट की सूई की लंबाई 7 सेमी है। 40 मिनट में इसके द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. घड़ी की मिनट की सूई द्वारा 60 मिनट में बनाया गया कोण 360° होता है। इसलिए 1 मिनट में बनाया गया कोण = 360°/60 = 6° होता है। अतः 40 मिनट में सूई द्वारा बनाया गया कोण θ = 6° x 40 = 240° होता है।

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6. Q6लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

   28 सेमी व्यास वाले वृत्त की परिधि तथा क्षेत्रफल ज्ञात करें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. त्रिज्या r = 28/2 = 14 सेमी; परिधि = 2πr = 2 × 22/7 × 14 = 88 सेमी।

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7. Q7लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

   एक तार वृत्त के रूप में है जिसकी त्रिज्या 84 सेमी है। उस वर्ग की भुजा ज्ञात करें जो इस तार को मोड़ कर बनाया जा सकता है।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. दिया है वृत्ताकार तार की त्रिज्या r = 84 सेमी। वृत्त की परिधि का सूत्र 2πr है। परिधि = 2 * 22/7 * 84 सेमी = 528 सेमी। यही तार की कुल लंबाई है, जिसे मोड़कर वर्ग बनाया जाएगा।

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8. Q8लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

   एक अर्द्धवृत्ताकार खेत की परिमिति निकालें यदि इसका व्यास 24 सेमी है।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. अर्द्धवृत्त की परिमिति ज्ञात करने के लिए सूत्र = πr + 2r अर्थात् (π + 2)r का उपयोग किया जाता है, जहाँ r अर्द्धवृत्त की त्रिज्या है।

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9. Q9लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

   किसी वलय की बाहरी और भीतरी त्रिज्याएँ क्रमशः 23 सेमी एवं 21 सेमी हैं तो इसका क्षेत्रफल निकालें।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. वलय का क्षेत्रफल = π(R² − r²), जहाँ R = 23 सेमी (बाहरी त्रिज्या) और r = 21 सेमी (भीतरी त्रिज्या)।

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10. Q10लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2023

    यदि एक अर्द्ध-वृत्ताकार चाँद का परिमाप 36 सेमी है, तो इसका व्यास ज्ञात करें ।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. अर्द्ध-वृत्ताकार चाँद का परिमाप उसके वृत्तीय चाप की लंबाई तथा व्यास की लंबाई को जोड़कर प्राप्त होता है। यदि त्रिज्या r हो, तो चाप की लंबाई πr होती है और व्यास 2r होता है। इसलिए परिमाप = πr + 2r होता है। प्रश्न में…

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11. Q11लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2023

    एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसकी परिधि 22 सेमी है।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. वृत्त की परिधि 2πr = 22 सेमी दी गई है। इससे त्रिज्या ज्ञात करने के लिए 2 × (22/7) × r = 22 लिखते हैं, जिससे r = 22 × 7 / (2 × 22) = 7/2 = 3.5 सेमी प्राप्त होता है।

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12. Q12लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2023

    यदि एक अर्ध-वृत्ताकार चाँद का परिमाप 36 सेमी है, तो इसका व्यास ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. अर्ध-वृत्ताकार चाँद के परिमाप का सूत्र πr + 2r होता है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है। यहाँ परिमाप 36 सेमी दिया गया है, अतः πr + 2r = 36 अर्थात् r(π + 2) = 36।

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13. Q13लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    एक वृत्त, जिसकी त्रिज्या 21 cm है, में उस चाप की लंबाई क्या होगी जो वृत्त के केन्द्र पर 60 degree का कोण बनाता है ?

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दिया है: वृत्त की त्रिज्या r = 21 cm तथा वृत्त के केंद्र पर बना कोण θ = 60°। कोण θ वाले त्रिज्यखंड के संगत चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr होती है। यहाँ चाप की लंबाई = (60/360) × 2 × 22/7 × 21 cm।

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14. Q14लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    यदि समबाहु त्रिभुज की भुजा 2a इकाई है, तो इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र √3/4 × (भुजा)² होता है।

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15. Q15लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    एक घड़ी की घंटे की सुई की लंबाई 6 cm है। इस सुई द्वारा 4 घंटे में रचित क्षेत्रफल ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. घड़ी की घंटे की सुई 12 घंटे में एक पूरा चक्कर लगाती है, अतः 12 घंटे में बनाया गया कोण 360° होता है। इसलिए 4 घंटे में सुई द्वारा बनाया गया कोण θ = (360/12) x 4 = 120° होगा। यहाँ सुई की लंबाई त्रिज्यखंड की त्रिज्या r = 6…

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16. Q16लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    21 cm त्रिज्या वाले वृत्त का एक चाप केन्द्र पर 120° का कोण अंतरित करता है, तो चाप की लंबाई ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. कोण θ वाले त्रिज्यखंड के संगत चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr होती है, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है और θ त्रिज्यखंड का अंशों में कोण है। यहाँ r = 21 cm और θ = 120° है।

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ऑब्जेक्टिव प्रश्न — उत्तर-कुंजी सहित (10)

1. 1. बिहार बोर्ड 2026

   यदि दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात 3 : 4 है तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है

   • (A) 9 : 16 ✓
   • (B) 16 : 9
   • (C) 4 : 3
   • (D) 3 : 4

   उत्तर: (A)

2. 2. बिहार बोर्ड 2026

   एक त्रिज्यखण्ड के केन्द्रीय कोण का मान 60° है तथा त्रिज्या 21 सेमी हो तो चाप की लम्बाई है

   • (A) 11 सेमी
   • (B) 21 सेमी
   • (C) 22 सेमी ✓
   • (D) 44 सेमी

   उत्तर: (C)

3. 3. बिहार बोर्ड 2026

   अर्द्धवृत्त की परिमिति है

   • (A) pi r
   • (B) 2pi r
   • (C) pi r + 2r ✓
   • (D) pi r + r

   उत्तर: (C)

4. 4. बिहार बोर्ड 2026

   28 सेमी व्यास वाले वृत्त की परिधि है

   • (A) 22 सेमी
   • (B) 44 सेमी
   • (C) 88 सेमी ✓
   • (D) 176 सेमी

   उत्तर: (C)

5. 5. बिहार बोर्ड 2026

   14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के त्रिज्यखण्ड की परिमिति 50 सेमी है तो त्रिज्यखण्ड का केन्द्रीय कोण है

   • (A) 36°
   • (B) 45°
   • (C) 72°
   • (D) 90° ✓

   उत्तर: (D)

6. 6. बिहार बोर्ड 2026

   एक तार 28 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के रूप में मुड़ी हुई है। इसे पुनः वर्गाकार तार के रूप में मोड़ने पर इसकी भुजा की लम्बाई है

   • (A) 11 सेमी
   • (B) 22 सेमी
   • (C) 44 सेमी ✓
   • (D) 88 सेमी

   उत्तर: (C)

7. 7. बिहार बोर्ड 2026

   यदि वृत्त का क्षेत्रफल वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर हो तो उनकी परिमिति का अनुपात है

   • (A) 2 : pi
   • (B) pi : 2
   • (C) sqrt(pi) : 2 ✓
   • (D) 2 : sqrt(pi)

   उत्तर: (C)

8. 8. बिहार बोर्ड 2026

   यदि किसी वृत्त की परिधि 2pi से बढ़कर 4pi हो जाती है तो इसका नया क्षेत्रफल है

   • (A) आधा
   • (B) दुगुना
   • (C) तीन गुना
   • (D) चार गुना ✓

   उत्तर: (D)

9. 9. बिहार बोर्ड 2025

   दो वृत्तों की त्रिज्याओं का अनुपात 3 : 4 है तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है

   • (A) 3 : 4
   • (B) 4 : 3
   • (C) 9 : 16 ✓
   • (D) 16 : 9

   उत्तर: (C)

10. 10. बिहार बोर्ड 2025

    42 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड जिसका केन्द्रीय कोण 30° है, का क्षेत्रफल है

    • (A) 515 सेमी^2
    • (B) 416 सेमी^2
    • (C) 462 सेमी^2 ✓
    • (D) 406 सेमी^2

    उत्तर: (C)

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बिहार बोर्ड 10वीं गणित में "वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल" से कितने अंक आते हैं?

2021 से 2026 के बिहार बोर्ड के पेपरों में इस अध्याय से औसतन लगभग 5 अंक और लगभग 6 प्रश्न हर साल पूछे गए; गणित में अंकों के हिसाब से यह 11वाँ अध्याय है।

"वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल" के VVI प्रश्न कौन से हैं?

ऊपर दिए गए 16 प्रश्न बोर्ड के असली पेपरों से हैं, जिस-जिस साल पूछे गए उस साल के साथ; जो सबसे ज़्यादा बार पूछे गए वे पहले हैं और उनके आदर्श उत्तर पूरे दिए गए हैं। इस अध्याय के कुल 16 लिखित प्रश्न और उनके उत्तर AskMedha ऐप में हैं।

क्या ये उत्तर बोर्ड की marking scheme के अनुसार हैं?

BSEB अपनी marking scheme प्रकाशित नहीं करता। हर उत्तर पिछले पेपरों से निकाली गई अंक-संरचना पर बिंदुवार लिखा गया है और एक दूसरे, स्वतंत्र मॉडल से जाँचा गया है; इसे बोर्ड की आधिकारिक scheme नहीं कहा जाता।