बिहार बोर्ड 10वीं · गणित · मैट्रिक परीक्षा 2027
अध्याय 11: रचनाएँ — नोट्स
इस अध्याय के 6 भाग, किताब के क्रम में — हर भाग की पहली बात और वे बिंदु जो मेधा मैम बोर्ड पर लिखती हैं — और अंत में सारांश। पूरा पाठ और हर भाग का जाँच-प्रश्न ऐप में।
1. भूमिका — पिछली रचनाओं का ज्ञान
देखिए, कक्षा IX में आपने पटरी और परकार से कुछ रचनाएँ सीखी थीं।
- • कक्षा IX में सीखा: कोण समद्विभाजन, रेखाखंड का लंब समद्विभाजक, त्रिभुज रचनाएँ
- • इस अध्याय में: नई रचनाएँ + उनका औचित्य
2. रेखाखंड को दिए अनुपात में विभाजित करना
देखिए, मान लीजिए हमें एक रेखाखंड AB दिया है, और इसे 3:2 के अनुपात में बाँटना है।
- • रचना 11.1: रेखाखंड AB को m:n में विभाजित करना
- • उदाहरण: m = 3, n = 2
- • चरण 1: न्यूनकोण बनाती किरण AX
- • चरण 2: AX पर 5 बराबर बिंदु A1...A5
- • चरण 3: BA5 मिलाइए; A3 से A5B के समांतर रेखा खींचिए, C पर काटे
- • परिणाम: AC:CB = 3:2 (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से)
3. दिए स्केल गुणक से समरूप त्रिभुज की रचना — छोटा त्रिभुज (3/4)
देखिए, अब हम रेखाखंड बाँटने वाली रचना को त्रिभुज में लगाएँगे।
- • उदाहरण 1: स्केल गुणक 3/4 (छोटा त्रिभुज)
- • चरण 1: BC से A की दूसरी ओर किरण BX
- • चरण 2: BX पर 4 बराबर बिंदु B1,B2,B3,B4
- • चरण 3: B4C मिलाइए; B3 से समांतर रेखा से C' प्राप्त करें
- • चरण 4: C' से CA के समांतर रेखा से A' प्राप्त करें
- • परिणाम: ΔA'BC' ~ ΔABC, अनुपात 3/4
4. दिए स्केल गुणक से समरूप त्रिभुज की रचना — बड़ा त्रिभुज (5/3)
देखिए, अब उदाहरण 2 लेते हैं।
- • उदाहरण 2: स्केल गुणक 5/3 (बड़ा त्रिभुज)
- • चरण 1: किरण BX खींचिए
- • चरण 2: BX पर 5 बराबर बिंदु B1...B5
- • चरण 3: B3C मिलाइए; B5 से समांतर रेखा से बढ़ाई C पर C' प्राप्त करें
- • चरण 4: C' से CA के समांतर रेखा से बढ़ाई BA पर A' प्राप्त करें
- • परिणाम: A'B/AB = A'C'/AC = BC'/BC = 5/3
5. वृत्त के बाहर स्थित बिंदु से स्पर्श रेखाओं की रचना
देखिए, अब बात करते हैं वृत्त के बाहर से खींची गई स्पर्श रेखाओं की।
- • रचना 11.3: बाहरी बिंदु P से वृत्त (केंद्र O) पर स्पर्श रेखाएँ
- • चरण 1: PO मिलाइए, समद्विभाजित कर मध्य बिंदु M पाइए
- • चरण 2: M केंद्र, MO त्रिज्या से वृत्त खींचिए, Q, R पर प्रतिच्छेद
- • चरण 3: PQ और PR मिलाइए — ये अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं
- • औचित्य: ∠PQO = 90° (अर्धवृत्त का कोण), इसलिए PQ⊥OQ
6. सारांश
चलिए, अब पूरे अध्याय को एक साथ देख लेते हैं।
- • 1. रेखाखंड को दिए अनुपात में विभाजित करना
- • 2. दिए स्केल गुणक से समरूप त्रिभुज की रचना (गुणक <1 या >1)
- • 3. बाह्य बिंदु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना
- • विशेष: चतुर्भुज/बहुभुज की भी समरूप रचना संभव
सारांश
चलिए, अब जो पढ़ा उसे एक बार साथ दोहराते हैं। इस अध्याय में आपने पहले सीखा कि कक्षा IX की पुरानी रचनाओं के ज्ञान से नई रचनाएँ कैसे की जाती हैं। साथ ही हर रचना का गणितीय औचित्य भी आपने समझा। फिर आपने एक रेखाखंड को दिए गए अनुपात में बाँटना सीखा। इसमें आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का उपयोग हुआ था। इसके बाद इसी तरीके से आपने दिए गए स्केल गुणक के अनुसार समरूप त्रिभुज बनाना सीखा — पहले छोटे त्रिभुज के लिए, जहाँ स्केल गुणक 3/4 था। फिर बड़े त्रिभुज के लिए, जहाँ स्केल गुणक 5/3 था। आखिर में आपने वृत्त के बाहर किसी बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ खींचना सीखा। इसका औचित्य वहाँ से मिला कि अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है। तो, तीन रचनाएँ — रेखाखंड का विभाजन, समरूप त्रिभुज, और स्पर्श रेखा युग्म — इन्हीं पर यह अध्याय पूरा हुआ। अच्छा बताइए, इनमें से कौन सी रचना आपको सबसे दिलचस्प लगी?
AskMedha · मेधा मैम — बिहार बोर्ड 10वीं गणित, अध्याय 11। पाठ्यपुस्तक से लिखा, दो बार जाँचा।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
- "रचनाएँ" के नोट्स PDF में कैसे मिलेंगे?
- "PDF में सहेजें" दबाएँ — फ़ोन का प्रिंट पेज खुलेगा; वहाँ "Save as PDF" चुनें। PDF में सिर्फ़ नोट्स रहते हैं।
- ये नोट्स कहाँ से लिखे गए हैं?
- अध्याय की पाठ्यपुस्तक के अपने पाठ से, भाग-भाग करके, किताब के ही शब्दों में; फिर एक दूसरे, स्वतंत्र मॉडल ने हर भाग को किताब से मिलाकर जाँचा है। पूरा पाठ, हर भाग का जाँच-प्रश्न और अभ्यास AskMedha ऐप में है।
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मेधा मैम एक AI टीचर हैं — कोई लाइव ट्यूटर नहीं। हर उत्तर दो बार जाँचा जाता है; ज़िम्मेदारी एक व्यक्ति की है।