अध्याय 10: वृत्त — नोट्स

1. 1. वृत्त और रेखा की तीन स्थितियाँ

   देखिए, आपको पता है वृत्त क्या होता है।

   • • वृत्त = नियत बिंदु से अचर दूरी वाले बिंदुओं का समूह
   • • स्थिति (i): कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं — अप्रतिच्छेदी रेखा
   • • स्थिति (ii): दो उभयनिष्ठ बिंदु A, B — छेदक रेखा
   • • स्थिति (iii): एक उभयनिष्ठ बिंदु A — स्पर्श रेखा

2. 2. स्पर्श रेखा छेदक रेखा की विशेष दशा

   देखिए, एक छेदक रेखा लीजिए।

   • • छेदक रेखा + जीवा की लंबाई शून्य होना → स्पर्श रेखा
   • • स्पर्श रेखा + वृत्त का उभयनिष्ठ बिंदु = स्पर्श बिंदु
   • • एक छेदक के समांतर अधिकतम दो स्पर्श रेखाएँ

3. 3. प्रमेय 10.1 — स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब

   देखिए, अब एक बहुत महत्वपूर्ण प्रमेय सीखते हैं।

   • • प्रमेय 10.1: स्पर्श रेखा ⟂ स्पर्श बिंदु से त्रिज्या
   • • Q, XY पर कोई अन्य बिंदु ⇒ OQ > OP
   • • OP = O से XY की न्यूनतम दूरी ⇒ OP ⟂ XY
   • • स्पर्श बिंदु से त्रिज्या वाली रेखा = अभिलंब

4. 4. बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाओं की संख्या

   चलिए, अब देखते हैं कि किसी बिंदु से वृत्त पर कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं।

   • • स्थिति 1: अंदर का बिंदु → कोई स्पर्श रेखा नहीं
   • • स्थिति 2: वृत्त पर बिंदु → एक स्पर्श रेखा
   • • स्थिति 3: बाहर का बिंदु → दो स्पर्श रेखाएँ
   • • प्रमेय 10.2: PQ = PR (RHS सर्वांगसमता)
   • • OP, ∠QPR का अर्धक

5. 5. उदाहरण से समझना — संकेंद्रीय वृत्त

   अब एक उदाहरण से यह सब जोड़ते हैं।

   • • बड़े वृत्त की जीवा AB, छोटे वृत्त को P पर स्पर्श करे
   • • OP ⟂ AB (प्रमेय 10.1 से)
   • • केंद्र से जीवा पर लंब उसे समद्विभाजित करता है ⇒ AP = BP
   • • उदाहरण 3: त्रिज्या 5 cm, जीवा PQ = 8 cm
   • • PR = RQ = 4 cm, OR = 3 cm, TP = 20/3 cm

AskMedha · मेधा मैम — बिहार बोर्ड 10वीं गणित, अध्याय 10। पाठ्यपुस्तक से लिखा, दो बार जाँचा।