अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ — नोट्स

1. 1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका

   देखिए, आज हम वास्तविक संख्याओं से शुरुआत करते हैं।

   • • a = bq + r, 0 <= r < b
   • • उदाहरण: 17 = 6 × 2 + 5
   • • q = भागफल, r = शेषफल

2. 2. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से HCF ज्ञात करना

   देखिए, यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से ही एक तरीका बनता है, जिसे यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म कहते हैं।

   • • 455 = 42 × 10 + 35
   • • 42 = 35 × 1 + 7
   • • 35 = 7 × 5 + 0
   • • शेषफल 0 → भाजक 7 ही HCF
   • • HCF(c,d) = HCF(d,r)

3. 3. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

   देखिए, अब बात करते हैं अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की।

   • • 32760 = 2^3 × 3^2 × 5 × 7 × 13
   • • 6 = 2^1 × 3^1, 20 = 2^2 × 5^1
   • • HCF(6,20) = 2
   • • LCM(6,20) = 2^2 × 3 × 5 = 60
   • • HCF(a,b) × LCM(a,b) = a × b

4. 4. अपरिमेय संख्याओं की सिद्धि

   देखिए, अब हम समझेंगे कि √2 जैसी संख्याएँ अपरिमेय क्यों होती हैं।

   • • मान लो sqrt(2) = a/b, a,b सहअभाज्य
   • • 2b^2 = a^2 → 2 भाजक a^2 का
   • • इसलिए 2 भाजक a का → a = 2c
   • • b^2 = 2c^2 → 2 भाजक b का भी
   • • a, b में उभयनिष्ठ गुणनखंड 2 → विरोधाभास
   • • अतः sqrt(2) अपरिमेय संख्या है

5. 5. परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार

   चलिए, अब आखिरी बात समझते हैं।

   • • q = 2^n 5^m रूप → सांत दशमलव प्रसार
   • • q, 2^n 5^m रूप का नहीं → असांत आवर्ती प्रसार
   • • 3/8 = 3/2^3 = 0.375 (सांत)
   • • 1/7 = 0.142857142857... (असांत आवर्ती)

AskMedha · मेधा मैम — बिहार बोर्ड 10वीं गणित, अध्याय 1। पाठ्यपुस्तक से लिखा, दो बार जाँचा।