अध्याय 1: वास्तविक संख्याएँ

VVI प्रश्न — बोर्ड ने जिन्हें सबसे ज़्यादा बार पूछा (19)

1. Q1लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2017, 2020, 2022

   सिद्ध करें कि 1/sqrt(2) अपरिमेय संख्या है ।

   

   मेधा मैम

   AskMedha की AI शिक्षिका

   मेधा मैम से सुनें · 55 सेकंड

   आदर्श उत्तर · उपपत्ति, 1/√2 की अपरिमेयता

   1. 1.माना कि 1/√2 एक परिमेय संख्या है। अतः हम इसे p/q के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ p और q सहअभाज्य (co-prime) पूर्णांक हैं तथा q शून्य नहीं है। अर्थात् 1/√2 = p/q।1 अंक
   2. 2.इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें √2 = q/p प्राप्त होता है। चूँकि p और q पूर्णांक हैं, इसलिए q/p एक परिमेय संख्या है, अतः √2 भी एक परिमेय संख्या सिद्ध होती है। परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि √2 एक अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास हमें अपनी त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है कि 1/√2 एक परिमेय संख्या है। अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 1/√2 एक अपरिमेय संख्या है।1 अंक

   • परिकल्पना में 'सहअभाज्य' (co-prime) शब्द अवश्य लिखें।
   • समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर √2 = q/p अवश्य निकालें।
   • अंत में स्पष्ट रूप से लिखें कि यह 'विरोधाभास' है क्योंकि √2 अपरिमेय संख्या है।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

2. Q2लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022, 2026

   सिद्ध करें कि 6 + sqrt(2) एक अपरिमेय संख्या है।

   

   मेधा मैम

   AskMedha की AI शिक्षिका

   मेधा मैम से सुनें · 65 सेकंड

   आदर्श उत्तर · उपपत्ति, अपरिमेय संख्याएँ

   1. 1.आइए इसके विपरीत मान लें कि 6 + sqrt(2) एक परिमेय संख्या है। अर्थात् हम ऐसे दो पूर्णांक p और q (q ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि 6 + sqrt(2) = p/q हो।1 अंक
   2. 2.इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर हमें sqrt(2) = p/q - 6 = (p - 6q)/q प्राप्त होता है। चूँकि p, q और 6 पूर्णांक हैं, इसलिए (p - 6q)/q एक परिमेय संख्या होगी, अतः sqrt(2) भी एक परिमेय संख्या होगी। परंतु इससे इस तथ्य का विरोधाभास प्राप्त होता है कि sqrt(2) एक अपरिमेय संख्या है। हमें यह विरोधाभास अपनी त्रुटिपूर्ण कल्पना के कारण प्राप्त हुआ है कि 6 + sqrt(2) एक परिमेय संख्या है। अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 6 + sqrt(2) एक अपरिमेय संख्या है।1 अंक

   • पहले पैराग्राफ में 6 + sqrt(2) = p/q लिखना न भूलें, जहाँ p, q पूर्णांक और q ≠ 0 हों।
   • दूसरे पैराग्राफ में यह स्पष्ट लिखें कि sqrt(2) एक परिमेय संख्या बन जाती है, जो sqrt(2) के अपरिमेय होने से विरोधाभास है।
   • अंत में 'अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 6 + sqrt(2) एक अपरिमेय संख्या है' वाक्य अवश्य लिखें।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

3. Q3लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025, 2026

   यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर 135 और 225 का म0स0 ज्ञात करें।

   

   मेधा मैम

   AskMedha की AI शिक्षिका

   मेधा मैम से सुनें · 60 सेकंड

   आदर्श उत्तर · यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म, म०स०

   1. 1.यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका a = bq + r, 0 <= r < b के अनुसार, जहाँ 225 > 135 है, हम 225 और 135 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करते हैं। 225 = 135 × 1 + 901 अंक
   2. 2.यहाँ शेषफल 90, शून्य नहीं है, इसलिए 135 और 90 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर: 135 = 90 × 1 + 45 अब शेषफल 45 भी शून्य नहीं है, इसलिए 90 और 45 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर: 90 = 45 × 2 + 0 यहाँ शेषफल 0 प्राप्त हो गया है, इसलिए इस स्थिति वाला भाजक 45 ही 135 और 225 का HCF (म०स०) है।1 अंक

   • हर चरण में a = bq + r का रूप स्पष्ट लिखें।
   • अंतिम चरण में शेषफल 0 आने पर वह भाजक ही म०स० (HCF) है, यह स्पष्ट लिखें।
   • तीनों समीकरण 225 = 135×1+90, 135 = 90×1+45, 90 = 45×2+0 क्रम से लिखें।

   अंक-विभाजन: पिछले पेपरों से निकाली गई संरचना (दो स्वतंत्र जाँच); बिहार बोर्ड की आधिकारिक नहीं

4. Q4लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2020, 2022

   यूक्लिड विभाजन एल्गोरिदम के प्रयोग से 252 एवं 1540 का म०स० निकालें ।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका a = bq + r के अनुसार, जहाँ 0 <= r < b है, यहाँ 1540 > 252 है। 1540 और 252 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है: 1540 = 252 × 6 + 28। क्योंकि शेषफल 28 शून्य नहीं है,…

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5. Q5लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2017, 2023

   अभाज्य गुणनखंड द्वारा 24 और 36 का म०स० तथा ल०स० ज्ञात करें ।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. 24 और 36 का अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करने पर 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2^3 × 3^1 प्राप्त होता है तथा 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2^2 × 3^2 प्राप्त होता है।

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6. Q6लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2025

   सिद्ध करें कि 5 - sqrt(3) एक अपरिमेय संख्या है।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. माना कि 5 - sqrt(3) एक परिमेय संख्या है। अर्थात् हम ऐसी सहअभाज्य संख्याएँ a और b 5 - sqrt(3) = a/b हो।

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7. Q7लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

   वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे 245 तथा 1037 में भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 प्राप्त हो।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. दी गई संख्याएँ 245 तथा 1037 हैं और दोनों को भाग देने पर शेषफल 5 प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि अभीष्ट संख्या से 245 तथा 1037 में से शेषफल 5 घटाने पर प्राप्त संख्याएँ पूर्णतः विभाजित होंगी। इसलिए 245 - 5 = 240 तथा 1037…

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8. Q8लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

   बिना भाग की क्रिया किये सिद्ध करें कि परिमेय संख्या 77/210 असांत आवर्ती दशमलव है।

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. परिमेय संख्या 77/210 को सरलतम रूप में लिखने पर, अंश और हर में उभयनिष्ठ गुणनखंड 7 काटने पर 77/210 = 11/30 प्राप्त होता है। अतः इसका सरलतम रूप 11/30 है।

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9. Q9लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2026

   सरल करें : (2sqrt(27) + 3sqrt(12)) / (4sqrt(3)).

   आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

   1. दिए गए व्यंजक (2√27 + 3√12) / 4√3 को सरल करने के लिए पहले अंश के पदों को सरल करते हैं। √27 = √(9 × 3) = 3√3 है, इसलिए 2√27 = 2 × 3√3 = 6√3 प्राप्त होता है। इसी प्रकार √12 = √(4 × 3) = 2√3 है, इसलिए 3√12 = 3 × 2√3 = 6√3…

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10. Q10लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    13/3125 का दशमलव प्रसार शांत है अथवा नहीं, ज्ञात करें ।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. 13/3125 के हर 3125 का अभाज्य गुणनखंड करने पर 3125 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 5^5 प्राप्त होता है। अतः हर 3125 को 5 की घात 5, अर्थात 5^5, के रूप में लिखा जा सकता है।

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11. Q11लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    0.0875 को p/q के रूप में लिखें जहाँ p और q में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं हो।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. 0.0875 को भिन्न रूप में लिखने के लिए हर में 10 की घात लेते हैं। इसमें दशमलव बिंदु के बाद चार अंक हैं, इसलिए 0.0875 = 875/10000 = 875/10^4 प्राप्त होता है।

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12. Q12लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2022

    1.8 (8 के ऊपर बार) को भिन्न के सरलतम रूप में बदलें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. माना कि x = 1.888... है। इसे समीकरण 1 माना जाता है।

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13. Q13लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2023

    अभाज्य गुणनखंड द्वारा 24 और 36 का म0स0 तथा ल0स0 ज्ञात करें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. 24 और 36 का अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार है: 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2^3 × 3^1 और 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2^2 × 3^2।

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14. Q14लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    सिद्ध करें कि 2 + sqrt(2) एक अपरिमेय संख्या है।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. आइए इसके विपरीत मान लें कि 2 + sqrt(2) एक परिमेय संख्या है। अर्थात् हम सहअभाज्य ऐसी संख्याएँ p और q (q ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि 2 + sqrt(2) = p/q हो।

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15. Q15लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    2.4 bar को भिन्न के सरलतम रूप में लिखें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. माना कि x = 2.4̄ = 2.444... है। यह एक असांत आवर्ती दशमलव प्रसार है, जिसमें अंक 4 की पुनरावृत्ति होती है।

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16. Q16लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से 255 एवं 867 का म. स. निकालें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने के लिए सबसे पहले बड़े पूर्णांक 867 और छोटे पूर्णांक 255 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b, का प्रयोग करते हैं। इससे प्राप्त होता है: 867 = 255 × 3 + 102। अब…

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17. Q17लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    सिद्ध करें कि 5 + √3 एक अपरिमेय संख्या है।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. माना कि 5 + √3 एक परिमेय संख्या है। अर्थात् हम ऐसी सहअभाज्य संख्याएँ a और b (b ≠ 0) ज्ञात कर सकते हैं कि 5 + √3 = a/b हो।

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18. Q18लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर 231 और 396 का म० स० निकालें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. दो धनात्मक पूर्णांकों 396 और 231 (396 > 231) का म० स० ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका a = bq + r, 0 <= r < b का प्रयोग करते हैं। 396 और 231 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका लगाने पर 396 = 231 × 1 + 165 प्राप्त…

    पूरा उत्तर मेधा मैम से →
19. Q19लघु उत्तरीय2 अंकपूछा गया: 2021

    0.12̄ को p/q के रूप में बदलें।

    आदर्श उत्तर की पहली पंक्ति

    1. माना कि x = 0.1222... है, जहाँ 2 के बाद अंक 2 की पुनरावृत्ति हो रही है।

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ऑब्जेक्टिव प्रश्न — उत्तर-कुंजी सहित (10)

1. 1. बिहार बोर्ड 2026

   किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए, युक्लिड विभाजन प्रमेयिका के अनुसार अद्वितीय पूर्णांक q तथा r होते हैं जो समीकरण a = bq + r को संतुष्ट करते हैं जहाँ

   • (A) 0 <= b < r
   • (B) 0 <= r < b ✓
   • (C) 0 >= b > r
   • (D) 0 >= r >= b

   उत्तर: (B)

2. 2. बिहार बोर्ड 2026

   यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार 867 तथा 255 का म०स० है

   • (A) 13
   • (B) 15
   • (C) 17
   • (D) 51 ✓

   उत्तर: (D)

3. 3. बिहार बोर्ड 2026

   7429 के अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल है

   • (A) 17 x 19 x 23 ✓
   • (B) 13 x 17 x 19
   • (C) 13 x 19 x 23
   • (D) 17 x 19 x 29

   उत्तर: (A)

4. 4. बिहार बोर्ड 2026

   यदि दो संख्याओं a तथा b का ल0स0 तथा म0स0 क्रमशः c तथा d हों तो

   • (A) a + b = c + d
   • (B) a - b = c - d
   • (C) ab = cd ✓
   • (D) ad = bc

   उत्तर: (C)

5. 5. बिहार बोर्ड 2026

   निम्नांकित में कौन-सी संख्या परिमेय संख्या है ?

   • (A) sqrt(2)
   • (B) sqrt(3)
   • (C) sqrt(4) ✓
   • (D) sqrt(5)

   उत्तर: (C)

6. 6. बिहार बोर्ड 2026

   वैसी संख्या जिसका व्यापक रूप p/q होता है जहाँ p और q पूर्णांक हैं एवं q!=0, कहलाती है

   • (A) सम संख्या
   • (B) विषम संख्या
   • (C) परिमेय संख्या ✓
   • (D) अपरिमेय संख्या

   उत्तर: (C)

7. 7. बिहार बोर्ड 2026

   वैसी संख्या जिसका दशमलव प्रसार न तो शांत होता है और न आवर्ती, कहलाती है

   • (A) अपरिमेय संख्या ✓
   • (B) परिमेय संख्या
   • (C) अभाज्य संख्या
   • (D) पूर्णांक

   उत्तर: (A)

8. 8. बिहार बोर्ड 2026

   (3 - 2sqrt(5))^2 =

   • (A) 29 - 12sqrt(5) ✓
   • (B) 29 + 12sqrt(5)
   • (C) 29
   • (D) - 11

   उत्तर: (A)

9. 9. बिहार बोर्ड 2026

   निम्नलिखित में कौन-सा भिन्न का दशमलव प्रसार सांत है?

   • (A) 19/105
   • (B) 67/210
   • (C) 13/88
   • (D) 3/160 ✓

   उत्तर: (D)

10. 10. बिहार बोर्ड 2026

    यदि भाग एल्गोरिदम a = bq + r में a = 72, b = 9 तो r =

    • (A) 8
    • (B) -8
    • (C) 0 ✓
    • (D) 1

    उत्तर: (C)

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बिहार बोर्ड 10वीं गणित में "वास्तविक संख्याएँ" से कितने अंक आते हैं?

2021 से 2026 के बिहार बोर्ड के पेपरों में इस अध्याय से औसतन लगभग 6 अंक और लगभग 10 प्रश्न हर साल पूछे गए; गणित में अंकों के हिसाब से यह 10वाँ अध्याय है।

"वास्तविक संख्याएँ" के VVI प्रश्न कौन से हैं?

ऊपर दिए गए 19 प्रश्न बोर्ड के असली पेपरों से हैं, जिस-जिस साल पूछे गए उस साल के साथ; जो सबसे ज़्यादा बार पूछे गए वे पहले हैं और उनके आदर्श उत्तर पूरे दिए गए हैं। इस अध्याय के कुल 19 लिखित प्रश्न और उनके उत्तर AskMedha ऐप में हैं।

क्या ये उत्तर बोर्ड की marking scheme के अनुसार हैं?

BSEB अपनी marking scheme प्रकाशित नहीं करता। हर उत्तर पिछले पेपरों से निकाली गई अंक-संरचना पर बिंदुवार लिखा गया है और एक दूसरे, स्वतंत्र मॉडल से जाँचा गया है; इसे बोर्ड की आधिकारिक scheme नहीं कहा जाता।